Η ανάρτηση αυτή έχει σκοπό να καταγγείλει τη μαθηματική κοινότητα για μια κατάφωρη αδικία που έχει διαπράξει στο παρελθόν και εξακολουθεί να συντηρεί ανά τους αιώνες εις βάρος των μισών ακεραίων αριθμών. Ο λόγος για τους καλούμενους «περιττούς αριθμούς», τους αριθμούς δηλαδή που γράφονται στη μορφή \( 2n + 1 \), με \( n \) φυσικό. Μη απαραίτητοι (περιττοί) στα ελληνικά, παράξενοι (odd) στα αγγλικά, οι αριθμοί αυτοί συνιστούν τη γνωστή σε όλους μας ακολουθία: 1, 3, 5, 7, κτλ. Στα επόμενα θα φανεί ότι οι αριθμοί αυτοί δεν είναι καθόλου περιττοί. Αντιθέτως, συγκεντρώνουν κάποιες εντυπωσιακές ιδιότητες, οι οποίες τους καθιστούν χρησιμότατους.
Οι αριθμοί αυτοί συμμετέχουν ήδη σε διάφορες γνωστές στους μαθηματικούς κύκλους ακολουθιακές σχέσεις όπως οι δύο παρακάτω:
Οι αριθμοί αυτοί συμμετέχουν ήδη σε διάφορες γνωστές στους μαθηματικούς κύκλους ακολουθιακές σχέσεις όπως οι δύο παρακάτω:
\( 1^2 = 1 \)
\( 2^2 = 1 + 3 \)
\( 3^2 = 1 + 3 + 5 \)
\( 4^2 = 1 + 3 + 5 + 7 \)
\( 5^2 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 \)
\( 6^2 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 \)
κτλ.
\( 1^3 = 1 \)
\( 2^3 = 3 + 5 \)
\( 3^3 = 7 + 9 + 11 \)
\( 4^3 = 13 + 15 + 17 + 19 \)
\( 5^3 = 21 + 23 + 25 + 27 + 29 \)
\( 6^3 = 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 \)
κτλ.
Στην πρώτη ακολουθία (των τετραγώνων) είναι φανερό ότι το \( k^2 \) ισούται με το άθροισμα των πρώτων \( k \) διαδοχικών περιττών αριθμών. Αντίστοιχα, στη δεύτερη ακολουθία (των κύβων), το \( k^3 \) ισούται με το άθροισμα των \( k \) διαδοχικών περιττών αριθμών, ξεκινώντας όμως αυτή τη φορά από εκεί που σταμάτησε ο προηγούμενος όρος της ακολουθίας. Σχηματικά, η ακολουθία των κύβων κατασκευάζεται ως εξής:
\[ \underbrace{1}_{1^3},\underbrace{3,5}_{2^3},\underbrace{7,9,11}_{3^3},\underbrace{13,15,17,19}_{4^3},\underbrace{21,23,25,27,29}_{5^3},\dots \]
Πριν από λίγες μέρες σε μια προσπάθεια να γενικεύσω τα αποτελέσματα αυτά, ανακάλυψα τους επόμενους τύπους οι οποίοι όπως θα δούμε καταρρίπτουν αναντίλεκτα την «περιττότητα» των περιττών αριθμών.
Πριν από λίγες μέρες σε μια προσπάθεια να γενικεύσω τα αποτελέσματα αυτά, ανακάλυψα τους επόμενους τύπους οι οποίοι όπως θα δούμε καταρρίπτουν αναντίλεκτα την «περιττότητα» των περιττών αριθμών.
\[ k^n = \left( 2\omega + 1 \right) + \left( 2\omega + 3 \right) + \dots + \left( 2\omega + 2k^{\frac{n-1}{2}} - 1 \right), \] για \(k\) φυσικό και \(n\) περιττό, όπου
\[ \omega = k^{\frac{n-3}{2}} \sum_{i=0}^{k-1}i \]
και
\[ k^n = 1 + 3 + \dots + (2k^{\frac{n}{2}} - 1), \] για \( k \) φυσικό και \( n \) άρτιο.
Οι εκ πρώτης όψεως άχαροι αυτοί τύποι αναπτύσσονται κομψότερα στον Πίνακα 1. Στη διασταύρωση της \( n \) γραμμής με την \( k \) στήλη αντιστοιχεί η δύναμη \( k^n \). Τα σύμβολα \( \alpha \rightarrow \beta \) σε κάθε κελί υποδηλώνουν τα εξής:
\( \alpha \): το πλήθος του συνόλου των διαδοχικών περιττών που πρέπει να παραλείψουμε, ξεκινώντας από το 1.
\( \beta \): το πλήθος των διαδοχικών περιττών που πρέπει να προσθέσουμε, ξεκινώντας από τον περιττό που ακολουθεί τον τελευταίο περιττό του συνόλου των παραλειπόμενων που αναφέρεται στο \( \alpha \).
 |
| Πίνακας 1. Ανάπτυξη δυνάμεων ως αθροίσματα περιττών αριθμών. |
Για παράδειγμα, το στοιχείο \( 4 \rightarrow 2^3 \) για \( n=7 \) και \( k=2 \), που αντιστοιχεί στη δύναμη \( 2^7 \), υποδηλώνει ότι παραλείπουμε τους \( 4 \) πρώτους περιττούς, δηλαδή τους \( 1, 3, 5 \) και \( 7 \) και προσθέτουμε τους επόμενους \( 2^3=8 \), δηλαδή \( 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 \). Αυτό μας κάνει \( 128 \) που είναι όντως το αποτέλεσμα της δύναμης \( 2^7 \). Φυσικά, όπου \( \alpha = 0 \), αυτό σημαίνει ότι δεν παραλείπεται κανείς περιττός. Π.χ. το \( 0 \rightarrow 2^3 \) για \( n=6 \) και \( k=2 \) σημαίνει ότι αθροίζουμε τους \( 2^3 = 8 \) διαδοχικούς περιττούς ξεκινώντας από το \( 1 \), δηλαδή \( 1+3+5+7+9+11+13+15 \). Και πάλι, αυτό μας κάνει \( 64 \) το οποίο ισούται με \( 2^6 \). Από τα παραπάνω, εύκολα φαίνεται ότι οι ακολουθίες των τετραγώνων και των κύβων που ανεφέρθηκαν στην αρχή του άρθρου, αποτελούν ειδικές περιπτώσεις αυτού του γενικευμένου πίνακα, για \( n=2 \) και \( n=3 \) αντίστοιχα.
Κοιτάζοντας τον Πίνακα 1 πιο προσεκτικά, παρατηρούμε ότι στις δυνάμεις με άρτιο εκθέτη \( n \), δεν παραλείπεται ποτέ κάποιος περιττός (\( \alpha=0 \)), ως εκ τούτου, τα αθροίσματα ξεκινούν πάντα με το \( 1 \). Από την άλλη πλευρά, για \( n \) περιττό κάνουμε τις εξής εντυπωσιακές παρατηρήσεις. Σαρώνοντας τον πίνακα οριζόντια, για \( n=3 \), οι περιττοί αριθμοί που παραλείπονται για τις διάφορες τιμές του \( k \) συνιστούν την εξής ακολουθία: \( 0, 1, 3, 6, 10 \), κτλ. Πιο συγκεκριμένα (βλ. Πίνακα 2):
ο 1ος όρος είναι το \( 0 \)
ο 2ος όρος προκύπτει αν στον 1ο όρο προσθέσουμε το \( 1 \)
ο 3ος όρος προκύπτει αν στον 2ο όρο προσθέσουμε το \( 2 \)
ο 4ος όρος προκύπτει αν στον 3ο όρο προσθέσουμε το \( 3 \)
ο 5ος όρος προκύπτει αν στον 4ο όρο προσθέσουμε το \( 4 \),
κ.ο.κ.
 |
| Πίνακας 2. Οριζόντια σάρωση του Πίνακα 1. |
Στο αρχικό κομμάτι της ακολουθίας αυτής εμφανίζεται η γνωστή Πυθαγόρεια «τετρακτύς», το άθροισμα δηλαδή των πρώτων τεσσάρων φυσικών, \( 1+2+3+4 \), το οποίο ισούται με \( 10 \) (βλ. γραμμή \( n=3 \) στον Πίνακα 2). Για την ιστορία, η τετρακτύς αποτελούσε το ιερό σύμβολο της Πυθαγόρειας σχολής και είχε τεράστια σημασία για τα μέλη της. Για παράδειγμα, στη γεωμετρία, οι αριθμοί \( 1, 2, 3 \) και \( 4 \) της τετρακτύος αντιστοιχούν στις γεωμετρικές έννοιες σημείο, ευθεία, επίπεδο και χώρος, υπό την έννοια ότι ο αριθμός 1 παριστάνει το σημείο, 2 σημεία ορίζουν μια ευθεία, 3 σημεία ορίζουν ένα επίπεδο και 4 σημεία ορίζουν το χώρο. Επίσης, στη μουσική, οι αριθμοί της τετρακτύος ορίζουν τους θεμελιώδεις αρμονικούς λόγους της τετάρτης (\( 4:3 \)), της πέμπτης (\( 3:2 \)) και της οκτάβας (\( 2:1 \)) που λαμβάνουμε αν χωρίσουμε μια χορδή με χρήση των λόγων αυτών. Κλείνοντας αυτήν τη σύντομη ιστορική αναδρομή, αξίζει να σημειωθεί ότι μια μεγάλη μερίδα ανθρώπων πιστεύει ότι ακόμη και το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης έχει τη βάση του ακριβώς στην τετρακτίδα!
Επιστρέφοντας τώρα στην περιγραφή του πίνακα, οι παραλειπόμενοι περιττοί αριθμοί στη γραμμή που αντιστοιχεί στο \( n=5 \), προέρχονται από αυτούς που ανήκουν στην προαναφερθείσα ακολουθία (για \( n=3 \)), με πολλαπλασιασμό επί \( k \) (βλ. Πίνακα 3). Πιο συγκεκριμένα, σαρώνοντας αυτή τη φορά τον πίνακα κάθετα, π.χ. για \( k = 2 \), οι αριθμοί που παραλείπονται για τις διάφορες τιμές του εκθέτη \( n \), όπου \( n \) περιττός, συνιστούν την εξής ακολουθία: \( 1, 2, 4, 8 \), κτλ. Ο πρώτος όρος δηλαδή είναι το \( 1 \) και κάθε επόμενος όρος προκύπτει με πολλαπλασιασμό του προηγούμενου επί \( 2 \). Όμοια, για \( k = 3 \), ο πρώτος όρος είναι το \( 3 \) και κάθε επόμενος όρος προκύπτει με πολλαπλασιασμό του προηγούμενου επί \( 3 \). Γενικότερα, για οποιοδήποτε \( k \), ο πρώτος όρος ταυτίζεται με τον \( k \)-οστό όρο της οριζόντιας ακολουθίας για \( n=3 \) και κάθε επόμενος όρος προκύπτει με πολλαπλασιασμό του προηγούμενου επί \( k \). Φυσικά γενικεύοντας, για \( k=1 \), ο πρώτος όρος είναι το \( 0 \) και κάθε επόμενος όρος προκύπτει με πολλαπλασιασμό του προηγούμενου επί \( 1 \), με άλλα λόγια, όλοι οι όροι ισούνται με \( 0 \), όπως άλλωστε φαίνεται και από τη στήλη \( k=1 \) του Πίνακα 3.
 |
| Πίνακας 3. Κάθετη σάρωση του Πίνακα 1. |
Το γενικό συμπέρασμα από τα παραπάνω είναι ότι με ένα μυστηριώδη τρόπο, οποιαδήποτε δύναμη φυσικού αριθμού με φυσικό εκθέτη μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα περιττών αριθμών. Θα μπορούσαμε λοιπόν με ασφάλεια να πούμε ότι οι περιττοί αριθμοί αποτελούν τα δομικά στοιχεία των δυνάμεων. Αριθμοί με μια τόσο σπουδαία ιδιότητα μόνο περιττοί δεν είναι...
