Τα Μαθηματικά θεμελιώνονται αξιωματικά. Αυτό σημαίνει ότι επιλέγονται κάποιες λογικές προτάσεις οι οποίες θεωρούνται από όλους αληθείς και με τη βοήθεια αυτών επάγονται νέες προτάσεις (θεωρήματα) οι οποίες όλες μαζί χτίζουν μια μαθηματική θεωρία. Οι αξιωματικές προτάσεις, συνήθως συμφωνούν με την εμπειρία ή τη διαίσθησή μας και είναι μη αντιφατικές. Η πιο γνωστή και πιο παλιά αξιωματική θεωρία είναι η Θεωρία Συνόλων Zermelo-Fraenkel (ZF), από τους Ernst Zermelo και Abraham Fraenkel. Στη συνέχεια αναφέρονται όλα τα αξιώματα της θεωρίας αυτής μαζί με τις τυπικές τους εκφράσεις. Αργότερα, επισυνάφθηκε ένα επιπλέον αξίωμα, το Αξίωμα της Επιλογής (Axiom of Choice), οδηγώντας στην επαυξημένη θεωρία ZFC, ωστόσο εδώ αναφέρονται μόνο τα 9 αρχικά αξιώματα της βασικής θεωρίας ZF. Προκαλεί δέος ότι (σχεδόν) όλα τα γνωστά Μαθηματικά στηρίζονται σε αυτά ακριβώς τα αξιώματα.
Αριστερά: Ernst Zermelo (27 Ιουλίου 1871 - 21 Μαΐου 1953). Δεξιά: Abraham Fraenkel (17 Φεβρουαρίου 1891 - 15 Οκτωβρίου 1965).
Α.1: Αξίωμα Έκτασης
Οποιαδήποτε σύνολα x και y είναι ίσα αν και μόνο αν έχουν τα ίδια στοιχεία.
\[ (\forall x)(\forall y)(x=y \Leftrightarrow (\forall z)(z \in x \Leftrightarrow z \in y)) \]
\[ (\forall x)(\forall y)(x=y \Leftrightarrow (\forall z)(z \in x \Leftrightarrow z \in y)) \]
Α.2: Αξίωμα Κενού Συνόλου
Υπάρχει σύνολο χωρίς στοιχεία.
\[ (\exists x)(\forall y)(y \notin x) \]
\[ (\exists x)(\forall y)(y \notin x) \]
Α.3: Αξίωμα Μη Διατεταγμένου Ζεύγους
Για οποιαδήποτε σύνολα x και y, υπάρχει σύνολο z που έχει στοιχεία του ακριβώς τα x και y.
\[ (\forall x)(\forall y)(\exists z)(\forall t)(t \in z \Leftrightarrow (t=x) \vee (t=y)) \]
\[ (\forall x)(\forall y)(\exists z)(\forall t)(t \in z \Leftrightarrow (t=x) \vee (t=y)) \]
Α.4: Αξίωμα Ένωσης
Για κάθε σύνολο α, υπάρχει σύνολο β, που αποτελείται από τα σύνολα που ανήκουν σε ένα τουλάχιστον στοιχείο του α.
\[ (\forall \alpha)(\exists \beta)(\forall x)(x \in \beta \Leftrightarrow (\exists y \in \alpha)(x \in y)) \]
\[ (\forall \alpha)(\exists \beta)(\forall x)(x \in \beta \Leftrightarrow (\exists y \in \alpha)(x \in y)) \]
Α.5: Αξίωμα Δυναμοσυνόλου
Για κάθε σύνολο α, υπάρχει σύνολο β που έχει για στοιχεία του ακριβώς τα υποσύνολα του α.
\[ (\forall \alpha)(\exists \beta)(\forall x)(x \in \beta \Leftrightarrow (\forall y)(y \in x \Rightarrow y \in \alpha)) \]
\[ (\forall \alpha)(\exists \beta)(\forall x)(x \in \beta \Leftrightarrow (\forall y)(y \in x \Rightarrow y \in \alpha)) \]
Α.6: Αξίωμα Σχήμα Υποσυνόλων
Για κάθε σύνολο α, υπάρχει σύνολο β, το οποίο αποτελείται από όλα τα στοιχεία x του α που έχουν την ιδιότητα p(x).
\[ (\forall \alpha)(\exists \beta)(\forall x)(x \in \beta \Leftrightarrow (x \in \alpha) \wedge (p(x))) \]
\[ (\forall \alpha)(\exists \beta)(\forall x)(x \in \beta \Leftrightarrow (x \in \alpha) \wedge (p(x))) \]
Α.7: Αξίωμα του Απείρου
Υπάρχει επαγωγικό σύνολο.
\[ (\exists \alpha)(\emptyset \in \alpha \wedge (\forall x \in \alpha)(x \cup \{x\} \in \alpha)) \]
\[ (\exists \alpha)(\emptyset \in \alpha \wedge (\forall x \in \alpha)(x \cup \{x\} \in \alpha)) \]
Α.8: Αξίωμα Σχήμα Αντικατάστασης
Έστω p(x,y) συναρτησιακή ιδιότητα. Για κάθε σύνολο α, υπάρχει σύνολο β, το οποίο αποτελείται από όλα τα σύνολα y για τα οποία υπάρχει x που να ανήκει στο α, έτσι ώστε για τα x και y να ισχύει η ιδιότητα p(x,y).
\[ [p(x,y) \wedge p(x,z) \Rightarrow y=z ] \Rightarrow [(\forall \alpha)(\exists \beta)(\forall y)(y \in \beta \Leftrightarrow (\exists x \in \alpha)(p(x,y)))] \]
\[ [p(x,y) \wedge p(x,z) \Rightarrow y=z ] \Rightarrow [(\forall \alpha)(\exists \beta)(\forall y)(y \in \beta \Leftrightarrow (\exists x \in \alpha)(p(x,y)))] \]
Α.9: Αξίωμα Βάσης
Κάθε μη κενό σύνολο α έχει στοιχείο β, τέτοιο ώστε η τομή του α με το β να ισούται με το κενό σύνολο.
\[ (\forall \alpha \ne \emptyset)(\exists \beta \in \alpha)(\alpha \cap \beta = \emptyset) \]
\[ (\forall \alpha \ne \emptyset)(\exists \beta \in \alpha)(\alpha \cap \beta = \emptyset) \]
