Ασύμμετρη σύγκριση

Άρρητοι ή ασύμμετροι λέγονται οι αριθμοί που δεν μπορούν να γραφούν στη μορφή κλάσματος, σε αντίθεση με τους ρητούς που μπορούν. Υπάρχει όμως και ένας ακόμη, εξίσου απλός και κομψός τρόπος να διακρίνει κανείς τους άρρητους από τους ρητούς. Ρητοί είναι οι αριθμοί των οποίων τα ψηφία, από ένα σημείο και πέρα, παρουσιάζουν μια περιοδικότητα. Για παράδειγμα ρητός είναι ο αριθμός \( 2,\!5 \) αφού αυτός γράφεται και ως \( 2,\!500\!\underline{0}\dots \) με το μηδέν να επαναλαμβάνεται επ' αόριστο, αλλά και ο \( 2,\!546546546\underline{546} \dots \) Άρρητοι είναι αυτοί που δεν είναι ρητοί. Οι αριθμοί δηλαδή τα ψηφία των οποίων δεν εμφανίζουν κάποια περιοδικότητα. Είναι ενδιαφέρον ότι οι ρητοί, λόγω της περιοδικότητάς τους, μπορούν να εκφραστούν με τη χρήση πεπερασμένου πλήθους μαθηματικών συμβόλων, σε αντίθεση με τους άρρητους που χρειάζονται άπειρα σύμβολα για να εκφραστούν με απόλυτη ακρίβεια.

Δυο από τους γνωστότερους άρρητους αριθμούς είναι οι \( e \) και \( \pi \). Οι αριθμοί αυτοί εμφανίζονται σχεδόν παντού στα μαθηματικά και συνδέονται με μυστηριώδη τρόπο μέσα από απίστευτα πολλές και όμορφες σχέσεις. Ο αριθμός \( e \) ορίζεται ως \( e = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \) και η τιμή του προσεγγιστικά είναι \( e=2,71828\dots \). Ο αριθμός \( \pi \) ορίζεται ως ο λόγος της περιμέτρου προς τη διάμετρο ενός οποιουδήποτε κύκλου και η τιμή του προσεγγιστικά είναι \( \pi = 3,14159\dots \)

Το ερώτημα που μας απασχολεί σε αυτό εδώ το άρθρο είναι το εξής: Ποιος από τους αριθμούς \( e^{\pi} \) και \( \pi^e \) είναι μεγαλύτερος;

Υπάρχουν διάφορες λύσεις αυτού του προβλήματος. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η επόμενη.

Θεωρούμε τη συνάρτηση \( f: [e,\pi] \rightarrow \mathbb{R}, \,\,\,\, f(x) = x^{\frac{1}{x}} \). 

Τότε \( \ln \left( f(x) \right) = \ln x^{\frac{1}{x}} \Leftrightarrow \ln \left( f(x) \right) = \frac{1}{x} \ln x \)

από όπου παραγωγίζοντας κατά μέλη παίρνουμε \( \frac{f'(x)}{f(x)} = -\frac{1}{x^2} \ln x + \frac{1}{x^2} = \frac{1}{x^2} \left(1 - \ln x \right) \)

και συνεπώς \( f'(x) = x^{\frac{1}{x}} \frac{1}{x^2} \left(1 - \ln x \right) \).

Όμως \( f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = e \) και για \( x \in (e,\pi], \,\,\,\, f'(x) < 0 \). Άρα η \( f(x) \) παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο \( x = e \) κι επομένως \( f(x) < f(e), \,\,\,\, \forall x \in (e,\pi] \). Βάζοντας λοιπόν όπου \( x = \pi \) έχουμε \( f(\pi) < f(e) \), το οποίο σημαίνει ότι \( \pi^{\frac{1}{\pi}} < e^{\frac{1}{e}} \Leftrightarrow \pi^e < e^{\pi} \).