Ο Bach και η λωρίδα του Möbius

Σαν σήμερα, πριν από 266 χρόνια, στις 28 Ιουλίου 1750, έφυγε από τη ζωή ο Johann Sebastian Bach. Με αφορμή το γεγονός αυτό, η ανάρτηση αυτή είναι ένας ελάχιστος φόρος τιμής σε αυτόν τον τόσο σπουδαίο συνθέτη.

Είναι γνωστή η ρήση ότι αν ο Bach δεν ήταν μουσικός θα ήταν σίγουρα μεγάλος μαθηματικός. Μη με ρωτάτε ποιος το είπε γιατί δεν θυμάμαι. Μπορεί και κανείς... Είναι πάντως η αλήθεια. Το βίντεο που παρουσιάζεται πιο κάτω είναι μια από τις πολυάριθμες αποδείξεις αυτού του ισχυρισμού. Στο βίντεο αυτό, ο μηχανολόγος μηχανικός Jos Leys [1], με τη χρήση ενός ενδιαφέροντος visualization δείχνει πώς ο πρώτος Κανόνας της Μουσικής Προσφοράς του Bach συνδέεται με τη λωρίδα του Möbius.

Johann Sebastian Bach (31 Μαρτίου 1685 - 28 Ιουλίου 1750).

Για όσους δεν γνωρίζουν:

Κανόνας είναι ένα είδος πολυφωνικής-αντιστικτικής μουσικής σύνθεσης στην οποία υπάρχει ένα κύριο θέμα (κοινώς μελωδία) το οποίο ερμηνεύει η μία φωνή και το οποίο μιμούνται με κάποια χρονική υστέρηση (διαφορά φάσης) καθεμία από τις υπόλοιπες φωνές. Η μίμηση αυτή μπορεί να είναι είτε πανομοιότυπη με το κύριο θέμα, είτε παραλλαγή του.

Μουσική Προσφορά (γερμ. Das Musikalische Opfer) είναι ο τίτλος του επικού έργου που συνέθεσε ο Bach το 1747, μια συλλογή από Κανόνες και Φούγκες που όλες βασίζονται σε ένα μόνο κύριο θέμα. Το θέμα αυτό διακρίνεται για τη μεγάλη του έκταση και την εξαιρετική του πολυπλοκότητα και επινοήθηκε από το βασιλιά Φριδερίκο Β' της Πρωσίας (Frederick the Great). Για την ιστορία, φημολογείται ότι υπήρχε η λαϊκή αντίληψη πως ο βασιλιάς περιφρονούσε τους φιλοσόφους και τους καλλιτέχνες και δεν έχανε την ευκαιρία να τους γελοιοποιεί. Κάποια στιγμή λοιπόν κάλεσε στον οίκο του τον Bach, ο οποίος ήταν γνωστός για το αυτοσχεδιαστικό του ταλέντο, του έδωσε το παραπάνω δύσκολο θέμα και τον προκάλεσε να αυτοσχεδιάσει επάνω σε αυτό, με την πεποίθηση ότι φυσικά θα αποτύχει. Ο Bach όμως, όπως αποδείχτηκε, είχε διαφορετική άποψη και τον διέψευσε πανηγυρικά δημιουργώντας το εν λόγω αριστούργημα, το οποίο αγγίζοντας, αν όχι ξεπερνώντας, τα όρια της ανθρώπινης καλλιτεχνικής (και όχι μόνο) διανόησης, έμεινε στην ιστορία ως η Μουσική Προσφορά.

Frederick the Great (24 Ιανουαρίου 1712 - 17 Αυγούστου 1786).

Η λωρίδα του Möbius είναι το τριδιάστατο σχήμα που προκύπτει αν κόψει κάποιος μια λωρίδα χαρτί, πάρει τα άκρα της λωρίδας, στρέψει το ένα κατά 180 μοίρες με άξονα περιστροφής την ίδια τη λωρίδα και κολλήσει τα δύο άκρα μεταξύ τους. Τότε έχει στα χέρια του έναν περίεργο δακτύλιο που έχει μία μόνο πλευρά και μία μόνο ακμή!

Η λωρίδα του Möbius. Είναι αξιοσημείωτη η ομοιότητα της λωρίδας με το σύμβολο που χρησιμοποιείται για το άπειρο.

Ακολουθεί η οπτικοποίηση του Jos Leys:

Η τοπολογία που κρύβει αυτό το έργο είναι εκθαμβωτική και δείχνει το μέγεθος της ευφυΐας του Bach. Το εντυπωσιακό βέβαια είναι ότι πέρα από τη μυστηριώδη σύνδεση με τη λωρίδα του Möbius, το ίδιο το έργο από αρμονική σκοπιά είναι αφ' εαυτού σπουδαίο. Αυτό είναι άλλωστε που ξεχωρίζει ένα αριστούργημα από το ανούσιο αποτέλεσμα ενός απλού πειραματισμού.

Σημειωτέον ότι η λωρίδα του Möbius ανακαλύφθηκε και μελετήθηκε για πρώτη φορά το 1858, 111 χρόνια δηλαδή μετά τη Μουσική Προσφορά του Bach!

[1] http://virtualmathmuseum.org/mathart/ArtGalleryLeys/leysindex.html

Φονικά Μαθηματικά

29 Μαΐου 1832, μεσάνυχτα. «Ήμουν σίγουρος! Υπάρχει άμεση σύνδεση της ομάδας μεταθέσεων με τις ρίζες ενός πολυωνύμου. Κανένα πολυώνυμο βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του 5 δεν επιλύεται με ριζικά. Δεν υπάρχει τύπος αντίστοιχος με αυτόν του τριωνύμου που να επιστρέφει τις ρίζες ενός τέτοιου πολυωνύμου με τη χρήση μόνο των τεσσάρων αλγεβρικών πράξεων και την εξαγωγή ριζικών. Αυτό θα πρέπει οπωσδήποτε να το μάθουν όσο γίνεται περισσότεροι και πρώτος από όλους εσύ, Auguste. Που να πάρει ο διάολος, πρέπει να βιαστώ! Μου απομένει ελάχιστος χρόνος. Που άφησα το αναθεματισμένο το χαρτί... Ελπίζω να μου φτάσει το μελάνι!». 

Αγαπημένε μου φίλε,

Τον τελευταίο καιρό, έχω αναλύσει διάφορες καινούργιες ιδέες. Η μία αφορά στη θεωρία των εξισώσεων, η άλλη στις ολοκληρωτικές συναρτήσεις. Στη θεωρία των εξισώσεων, έχω μελετήσει σε ποιες περιπτώσεις οι εξισώσεις είναι επιλύσιμες με ριζικά, κάτι που μου έχει δώσει την ευκαιρία να διεισδύσω σε βάθος στη θεωρία και να περιγράψω όλους τους δυνατούς μετασχηματισμούς μιας εξίσωσης, ακόμη κι αν αυτή δεν επιλύεται με ριζικά.

[...]

Ξέρεις Auguste ότι έχω πολλές φορές τολμήσει στη ζωή μου να παρουσιάσω ιδέες προχωρημένες για τις οποίες δεν ήμουν σίγουρος, αλλά όλα αυτά που σου γράφω βρίσκονται στο μυαλό μου για πάνω από ένα χρόνο και δεν θα ήθελα με τίποτα να κάνω λάθη που θα επέτρεπαν σε κάποιον να με κατηγορήσει ότι ανακοινώνω θεωρήματα για τα οποία δεν έχω πλήρη απόδειξη. 

Ζητώ από σένα να κάνεις έκκληση στον Jacobi και στον Gauss να πουν δημόσια την άποψή τους, όχι για την αλήθεια, αλλά για τη σημασία αυτών των θεωρημάτων. 

Μετά από όλα αυτά, ελπίζω ότι θα υπάρξουν άνθρωποι που θα επωφεληθούν από την αποκωδικοποίηση αυτού του χαμού εξισώσεων που σου γράφω.

Σε ασπάζομαι, 

E.G.

29 Μαΐου 1832

«Πόσο θα 'θελα να σε δω από κοντά έστω και για τελευταία φορά Auguste... Ίσως αύριο να είναι πια πολύ αργά. Θα 'θελα να σου μιλήσω και για την Stephanie. Ακόμη κι αν κατάφερα να δαμάσω το πρόβλημα της επιλυσιμότητας των πολυωνύμων με ριζικά, με βασανίζει το ότι δεν κατάλαβα ποτέ γιατί απομακρύνθηκε από τη ζωή μου η Stephanie. Και δεν θα καταλάβω ποτέ. Τώρα όμως πρέπει να σταματήσω να μονολογώ. Έχω να προετοιμαστώ για την αυριανή μέρα. Η ώρα πλησιάζει...».

30 Μαΐου 1832, ξημερώματα. Συνεπείς στο ραντεβού τους και οι δυο. Δυο ψυχές, δυο ρολόγια. Το ένα θα συνεχίσει να χτυπάει. Το άλλο θα σταματήσει για πάντα. Το γνωρίζουν αυτό και οι δύο. Όμως η τιμιότητα είναι για αυτούς ανώτερη αξία από τη ζωή. Πλησιάζει ο ένας τον άλλο. Έρχονται πρόσωπο με πρόσωπο. Γυρίζουν τις πλάτες τους, μετράνε τα βήματά τους αποφασιστικά, σταματούν, δίνουν το σύνθημα, γυρίζουν και πυροβολούν ο ένας τον άλλο. Ο κρότος είναι εκκωφαντικός. Μετά από μερικά δευτερόλεπτα νεκρική σιγή. Αυτός κείται αιμόφυρτος στο χώμα. Είναι ανήμπορος να κουνηθεί. Νιώθει να χάνει τις αισθήσεις του. Ο κόσμος γύρω του σβήνει. Το ρολόι χτυπάει όλο και πιο αργά.

31 Μαΐου 1832, 10 π.μ., νοσοκομείο Cochin, Παρίσι. Το ρολόι σταμάτησε.

Το παραπάνω περιστατικό αν και περιγράφεται μέσα από το δικό μου πρίσμα, είναι πραγματικό. Πρόκειται για μια μονομαχία τύπου "φαρ ουέστ" με πρωταγωνιστή το μεγάλο μαθηματικό Evariste Galois, ο οποίος σε ηλικία μόλις 20 ετών βρήκε το θάνατο με αυτόν τον ανεκδιήγητο τρόπο από τον Pescheux d'Herbinville. Τα μυθοπλαστικά στοιχεία που χρησιμοποιούνται αποσκοπούν να προσδώσουν γλαφυρότητα στην παρουσίαση της ιστορίας. Οι ημερομηνίες που αναφέρονται ωστόσο είναι ακριβείς. Το γράμμα αποτελεί μετάφραση στα ελληνικά ενός αποσπάσματος από το πρωτότυπο που έγραψε ο Galois στο φίλο του Auguste Chevalier το βράδυ πριν τη μονομαχία και στο οποίο ο Galois αναλύει τη θεωρία του για την επιλυσιμότητα των πολυωνύμων. Το γράμμα αυτό αποτελεί ουσιαστικά την απαρχή της περίφημης θεωρίας Galois η οποία επιτρέπει τη σύνδεση της θεωρίας σωμάτων με τη θεωρία ομάδων με τρομερές συνέπειες σε πολλούς τομείς των μαθηματικών. Το πιο γνωστό αποτέλεσμα που απορρέει από τη θεωρία αυτή είναι η απόδειξη ότι τα πολυώνυμα με βαθμό τουλάχιστον 5 δεν επιλύονται με ριζικά.

Evariste Galois (25 Οκτωβρίου 1811 - 31 Μαΐου 1832).

Ας επιστρέψουμε όμως στο περιστατικό. Ποιοι λόγοι κρύβονται πίσω από αυτή τη μονομαχία; Τι είναι αυτό που οδήγησε τον Galois σε αυτήν την απονενοημένη ενέργεια; Δύο είναι τα επικρατέστερα σενάρια. Κάποιοι ισχυρίζονται ότι επρόκειτο για ερωτική αντιζηλεία. Στο περιθώριο του γράμματος του Galois υπάρχει γραμμένο το όνομα της Stephanie-Felice du Motel, της κοπέλας με την οποία διατηρούσε ο Galois στο παρελθόν ερωτικό δεσμό. Ωστόσο αυτό δεν αποτελεί ατράνταχτο αποδεικτικό στοιχείο που να επιβεβαιώνει αυτό το σενάριο. Κάποιοι άλλοι υποστηρίζουν ότι πίσω από το περιστατικό κρύβονταν πολιτικά κίνητρα. Ο Galois ήταν γνωστός για την ανάμιξή του στα πολιτικά πράγματα και για την ενεργό του δράση με την παράταξη των ρεπουμπλικανών. Μάλιστα, έξι μήνες πριν το χαμό του είχε βγει από τη φυλακή όπου εξέτισε την ποινή του για τα πολιτικά του φρονήματα. Όπως και να 'χει το πράγμα, πολλά στοιχεία συντείνουν στο γεγονός ότι ήταν απηυδισμένος από τη ζωή λόγω της απογοήτευσης του στον αισθηματικό τομέα, λόγω της άθλιας οικονομικής και επαγγελματικής του κατάστασης, αλλά και της αποτυχίας του να αποκτήσει αναγνώριση για το μαθηματικό του έργο.

Στη ζωή του είχε διάφορες ατυχίες οι οποίες του κόστισαν πολύ και τον οδήγησαν σε μια μίζερη ψυχολογική κατάσταση η οποία του δημιούργησε την εμμονή ότι είναι ασήμαντος. Η πρώτη μεγάλη ατυχία στην καριέρα του ήταν όταν υπέβαλε για δημοσίευση στην Ακαδημία των Επιστημών δύο εργασίες του επάνω στην επίλυση πολυωνύμων με ριζικά. Εξεταστής της εργασίας του είχε οριστεί ο Augustin-Louis Cauchy, ο οποίος αν και τις διάβασε προσεκτικά και κατάλαβε τη σημασία τους, εικάζεται ότι φρόντισε επιμελώς να τις χάσει...! Η δεύτερη ατυχία του ήταν όταν στα πλαίσια ενός διαγωνισμού της Ακαδημίας ένα χειρόγραφο του Galois έφτασε στα χέρια του Jean-Baptiste Joseph Fourier ο οποίος δεν πρόλαβε να το διαβάσει λόγω του ξαφνικού του θανάτου! Το περίεργο της υπόθεσης είναι ότι το χειρόγραφο του Galois για κάποιον ανεξήγητο λόγο δε βρέθηκε ποτέ στα αρχεία του Fourier που ερευνήθηκαν μετά το θάνατό του. Ο Galois υπέβαλε και για τρίτη φορά εργασία στην Ακαδημία και αυτή τη φορά ήταν ο Simeon Denis Poisson που την απέρριψε. Ο Poisson μάλιστα είχε χαρακτηρίσει το έργο του Galois ακατανόητο αποδίδοντας αυτόν το χαρακτηρισμό στο ότι είτε δεν ήταν επαρκώς ξεκάθαρα αυτά που έγραφε, είτε δεν είχαν αναπτυχθεί αρκετά ώστε να γίνουν αποδεκτά με αυστηρό τρόπο. Η απόρριψη αυτή συνέπεσε χρονικά με τη σύλληψη του Galois για τα πολιτικά του φρονήματα, που ήρθε να τον αποτελειώσει. Η ζωή του από τη στιγμή εκείνη μέχρι το θάνατό του πήρε την κατιούσα.

Το ταλέντο του Galois υπήρξε απαράμιλλο. Ο Galois, μέσα σε ένα βράδυ φαίνεται να έχει συμπυκνώσει στο γράμμα που έστειλε στον Chevalier μαθηματικά που άλλοι θα χρειάζονταν μια ολόκληρη ζωή για να παραγάγουν. Χαρακτηριστική είναι η δήλωση του Hermann Weyl: «Το γράμμα αυτό αν κριθεί από την καινοτομία και την εμβρίθεια των ιδεών που περιέχει, είναι ίσως το πιο σημαντικό κομμάτι γραφής σε όλη τη βιβλιογραφία της ανθρωπότητας». Η συνεισφορά του Galois τόσο στην Άλγεβρα όσο και στην Ανάλυση ήταν τεράστια. Το έργο του ήταν τόσο βαθύ που όπως συμβαίνει συνήθως σε τέτοιες περιπτώσεις άργησε να αναγνωριστεί. Ο μαθηματικός κόσμος είχε την τύχη να γνωρίσει ένα σπουδαίο ταλέντο, είχε όμως και την ατυχία να το ξεπροβοδήσει τόσο βιαστικά και μάλιστα με τόσο άδικο τρόπο, καθώς το έργο του έπεσε στα χέρια ανθρώπων που είτε ήταν ζηλόφθονες είτε ανίκανοι να το κατανοήσουν και να αναγνωρίσουν την αξία του. Σίγουρα αν ο Galois ζούσε περισσότερο, τα μαθηματικά θα έβγαιναν πολύ πιο πλούσια στο σύνολό τους.

Όπως και να 'χει ο Galois ήταν μια από τις πιο αδικημένες μαθηματικές μορφές. Σε συνδυασμό με τις κακοτοπιές που αντιμετώπισε στην καριέρα του, έτυχε και μιας αισχρής αντιμετώπισης από πολιτικούς κύκλους και οδηγήθηκε τελικά σχεδόν στην παράνοια όντας ανήμπορος να κατανοήσει ποια ήταν η πηγή τόσης αδικίας στον κόσμο. Τελικά όμως, αυτός, ο ίδιος ήταν που αδίκησε περισσότερο τον εαυτό του με την απονενοημένη του πράξη που τον οδήγησε στο θάνατο. Οι μόνοι που φαίνεται να του στάθηκαν μέχρι την τελευταία στιγμή ήταν ο φίλος του Auguste Chevalier, στον οποίο αποφάσισε να στέλνει κατά αποκλειστικότητα τις εργασίες του μετά τις παραπάνω ατυχίες του, και ο μικρότερός του αδερφός Alfred.

Το σκηνικό θανάτου του διαδραματίστηκε το μαύρο πρωινό της 30ης Μαΐου 1832. Στην μονομαχία του με τον Pescheux d'Herbinville, η σφαίρα τον βρήκε στο στομάχι. Ένας περαστικός τον είδε και τον μετέφερε στο νοσοκομείο Cochin του Παρισιού. Μια μέρα μετά άφησε την τελευταία του πνοή από οξεία περιτονίτιδα στα χέρια του αδερφού του. Μπήκε με αυτόν τον τρόπο, χωρίς να το γνωρίσει ποτέ, στο πάνθεον των μαθηματικών με την ταμπέλα του νεότερου μαθηματικού που πέθανε ποτέ. Τα τελευταία του λόγια στον μικρότερο αδερφό του ήταν: «Μην κλαις Αλφρέντ! Χρειάζομαι όλο το κουράγιο μου για να πεθάνω στα είκοσι».<sup>1

1</sup>«Ne pleure pas, Alfred! J'ai besoin de tout mon courage pour mourir à vingt ans!»

Πηγές:

[1] http://people.math.umass.edu
[2] https://en.wikipedia.org
[3] http://hsm.stackexchange.com

Απίθανοι Chauffeur

Ο επόμενος γρίφος είναι αρκετά απλός καθώς δεν απαιτεί εξειδικευμένες γνώσεις μαθηματικών και φυσικής. Εντούτοις αποδεικνύεται ότι εύκολα παραπλανά τη διαίσθησή μας.

«Ένα αυτοκίνητο διανύει μια απόσταση \( s \, \mbox{km} \). Η μέση του ταχύτητα \( u_1 \) κατά το πρώτο μισό της διαδρομής είναι \( 100 \, \mbox{km/h} \). Ποια πρέπει να είναι η μέση του ταχύτητα \( u_2 \) στο δεύτερο μισό της διαδρομής ώστε η συνολική μέση του ταχύτητα \( u \) (αυτή δηλαδή που υπολογίζεται για όλη τη διαδρομή) να είναι \( 200 \, \mbox{km/h} \);»

Λύση:

Οι συνηθέστερες απαντήσεις που δίνονται χωρίς χαρτί και μολύβι είναι είτε \( 300 \, \mbox{km/h} \) είτε \( 400 \, \mbox{km/h} \) ή τελοσπάντων κάτι ανάμεσα στο \( 300 \) και στο \( 400 \, \mbox{km/h} \). Προφανώς θα σκεφτεί κάποιος για να αναφέρομαι σε αυτές τις απαντήσεις, μάλλον δεν είναι σωστές. Και όντως έτσι ακριβώς είναι. Ποια είναι όμως η σωστή απάντηση; Τα κυρίαρχα συναισθήματα στο άκουσμα της σωστής απάντησης είναι συνήθως έκπληξη και αμφιβολία. Όσο παράδοξο κι αν ακούγεται, το πρόβλημα αυτό είναι αδύνατο! Με άλλα λόγια με όποια μέση ταχύτητα κι αν τρέξει το αυτοκίνητο στο δεύτερο μισό της διαδρομής, δεν πρόκειται να καταφέρει να διπλασιάσει τη συνολική του μέση ταχύτητα. 

Το κλειδί για την επίλυση αλλά και κατανόηση του γρίφου αυτού είναι η εισαγωγή του χρόνου. Έστω λοιπόν \( t_1 \) ο χρόνος κατά τον οποίο διανύθηκε το πρώτο μισό της διαδρομής και \( t_2 \) ο χρόνος που αντιστοιχεί στο υπόλοιπο μισό (βλ. Σχήμα).

Τότε προφανώς ο συνολικός χρόνος που χρειάζεται το αυτοκίνητο για να διανύσει όλη τη διαδρομή \( s \) ισούται με \( t_1 + t_2 \). Οι μέσες ταχύτητες που αντιστοιχούν σε όλη τη διαδρομή, στο πρώτο μισό και στο δεύτερο μισό της διαδρομής, δίνονται με αυτή τη σειρά από τους παρακάτω τύπους:
\[ u = \frac{s}{t_1 + t_2}, \,\,\,\,\,\,\,\, u_1 = \frac{\frac{s}{2}}{t_1}, \,\,\,\,\,\,\,\, u_2 = \frac{\frac{s}{2}}{t_2} \]

Εφόσον όμως \( u_1 = 100 \, \mbox{km/h} \) και θέλουμε \( u = 200 \, \mbox{km/h} \), απαιτούμε \( u = 2 u_1 \), το οποίο με χρήση των πιο πάνω τύπων ανάγεται σε
\[ u = 2 u_1 \Leftrightarrow \frac{s}{t_1 + t_2} = 2 \frac{\frac{s}{2}}{t_1} \Leftrightarrow \frac{1}{t_1 + t_2} = \frac{1}{t_1} \Leftrightarrow t_1 + t_2 = t_1 \Leftrightarrow t_2 = 0 \]

Η πρώτη παρατήρηση είναι ότι προς την αναζήτηση της ταχύτητας \( u_2 \), υπολογίσαμε ποια θα πρέπει να είναι η τιμή του χρονικού διαστήματος \( t_2 \). Η δεύτερη παρατήρηση είναι ότι \( t_2 = 0 \), πράγμα που σημαίνει ότι ο χρόνος που θα χρειαστούμε για να πετύχουμε το ζητούμενο θα πρέπει να είναι μηδενικός! Αυτό δείχνει φυσικά ότι το πρόβλημα που προσπαθούμε να λύσουμε είναι αδύνατο, εφόσον δεν υπάρχει αρκετός χρόνος για να δημιουργήσουμε την επιθυμητή συνολική μέση ταχύτητα. Με μια δεύτερη ανάγνωση του γρίφου βέβαια αυτό είναι εν τέλει αναμενόμενο, αρκεί να σκεφτούμε ότι για να πετυχαίναμε συνολική μέση ταχύτητα \( u = 200 \, \mbox{km/h} \), θα έπρεπε στο χρόνο που δαπανήσαμε στο πρώτο κομμάτι να έχουμε ήδη φτάσει στο τέλος της διαδρομής!

Αφού ερμηνεύσαμε το πρόβλημα και είδαμε ότι είναι αδύνατο, ας ολοκληρώσουμε και τον αρχικό μας στόχο που είναι η αναζήτηση του \( u_2 \). Αντικαθιστώντας λοιπόν το \( t_2 = 0 \) στον τύπο του \( u_2 \) λαμβάνουμε 
\[ u_2 = \frac{\frac{s}{2}}{0} = \infty \]

κάτι που επιβεβαιώνει την αρχική μας απάντηση δίνοντας μια λίγο διαφορετική ερμηνεία στο πρόβλημα: Για να διπλασιάσουμε τη συνολική μέση ταχύτητα θα πρέπει να απειρίσουμε την μέση ταχύτητα στο δεύτερο μισό της διαδρομής, πράγμα φυσικά αδύνατο. 

Η καλύτερη κίνηση που παίχτηκε ποτέ στο σκάκι

Central Hall, Westminster

Ιούλιος 1922, Central Hall, Westminster, Λονδίνο. Τα ιερά τέρατα του παγκόσμιου σκακιού βρίσκονται συγκεντρωμένα για το κλασικό τουρνουά του Λονδίνου. Akiba Rubinstein, Efim Bogoljubow, Alexander Alekhine, Richard Reti, Savielly Tartakower, Geza Maroczy, Max Euwe, Milan Vidmar και φυσικά ο δαιμόνιος παγκόσμιος πρωταθλητής Jose Raul Capablanca. Το τουρνουά αυτό είναι το πρώτο σοβαρό γεγονός στο οποίο πήρε μέρος ο Capablanca έπειτα από την κατάκτηση του παγκόσμιου τίτλου ένα χρόνο πριν. Για τον Capablanca το τουρνουά αυτό είναι μια μεγάλη πρόκληση να επιβεβαιώσει ότι είναι επάξια ο κάτοχος του παγκόσμιου τίτλου. Αν και το έργο του αυτό απέναντι στα μεγαθήρια δεν είναι διόλου εύκολο, καταφέρνει τελικά να κερδίσει το τουρνουά αήττητος με το εντυπωσιακό σκορ των 13ων βαθμών σε 15 παιχνίδια, ενάμιση βαθμό μπροστά από τον επίσης αήττητο Alekhine. Το τουρνουά αυτό έχει μείνει στην ιστορία του σκακιού για δυο βασικούς λόγους. Πρώτον ο σκακιστικός κόσμος είχε την τύχη να παρακολουθήσει ένα εξαιρετικά υψηλού επιπέδου θέαμα που όμοιο του δεν είχε ξαναδεί στο παρελθόν. Δεύτερον, στο τουρνουά αυτό παίχτηκε η κατά πολλούς καλύτερη κίνηση στην παγκόσμια ιστορία του σκακιού. Αυτό συνέβη στην παρτίδα μεταξύ Capablanca και Vidmar την οποία κέρδισε ο πρώτος. Το περίεργο μάλιστα είναι ότι η εν λόγω κίνηση, σε αντίθεση με αυτό που θα περίμενε κανείς, δεν παίχτηκε από τον νικητή Capablanca, αλλά από τον Vidmar!

Για τη συνέχεια είναι χρήσιμο να δούμε λίγο πως γίνονταν οι αγώνες στα επίσημα διεθνή τουρνουά το 1922. Οι αγώνες διεξάγονταν με χρήση διπλών ρολογιών όπως και σήμερα. Ο κάθε παίκτης είχε έναν προκαθορισμένο χρόνο για όλη την παρτίδα με κάποιο bonus για κάθε κίνηση. Καθώς ο συνολικός χρόνος μιας παρτίδας μπορούσε να ξεπεράσει ακόμη και τις 6 ώρες, για να μην επιβαρύνεται η υγεία των παικτών, μόλις ο συνολικός χρόνος υπερέβαινε ένα όριο, η παρτίδα διακοπτόταν και ο παίκτης του οποίου ήταν η σειρά να παίξει, έκρυβε σε φάκελο την κίνησή του και την έδινε στο διαιτητή. Η παρτίδα συνεχιζόταν συνήθως την επόμενη ημέρα από την τελευταία θέση, όπως την άφησαν οι δύο αντίπαλοι τη στιγμή της διακοπής, με πρώτη κίνηση αυτήν που κρυβόταν στο φάκελο. Οι παίκτες με αυτόν τον τρόπο είχαν την ευκαιρία να ξεκουραστούν καθώς και να αναλύσουν με τη βοήθεια ενός επιτελείου προπονητών και αναλυτών την παρτίδα. Η διακοπή των αγώνων στο σκάκι βγήκε από τους κανόνες με την έλευση των υπολογιστών για ευνόητους λόγους. 

Αριστερά: Jose Raul Capablanca. Δεξιά: Milan Vidmar.

Στη συνέχεια ακολουθεί μια σύντομη ανάλυση της παρτίδας μέχρι τη μεγάλη στιγμή της καλύτερης κίνησης όλων των εποχών. 

Jose Raul Capablanca - Milan Vidmar
London, July 1922

D64 - Queen's Gambit Declined: Orthodox Defence, Main Line

1. d4 d5, 2. Nf3 Nf6, 3. c4 e6, 4. Nc3 Be7, 5. Bg5 Nbd7, 6. e3 O-O, 7. Rc1 c6, 8. Qc2 dxc4

Η ιδέα του μαύρου είναι να αδειάσει το κεντρικό τετράγωνο d5 ώστε να εγκαταστήσει εκεί τον Ίππο του. Ωστόσο, με την τελευταία του κίνηση, ο μαύρος βοηθάει την ανάπτυξη του λευκού αξιωματικού ο οποίος βρίσκει στο c4 μια ωραία θέση. Θεωρείται ελαφρώς καλύτερο ο μαύρος να κόψει το c4 αφού ο λευκός μετακινήσει το λευκοτετράγωνο Αξιωματικό του ώστε να τον αναγκάσει να χάσει τέμπο. 

9. Bxc4 Nd5, 10. Bxe7 Qxe7

Με την τοποθέτηση των κεντρικών πιονιών στα μαύρα τετράγωνα d4 και e3, ο λευκός δεν έχει αντίρρηση να αλλάξει τους μαυροτετράγωνους Αξιωματικούς. Στη θέση αυτή ο λευκός μαυροτετράγωνος Αξιωματικός θεωρείται ελαφρώς υποδεέστερος του αντίστοιχου μαύρου. Για το λόγο αυτό τελευταία συνήθως προτιμάται το 9... h6

11. O-O b6?

Βρισκόμαστε μόλις στην 11η κίνηση και ο Vidmar κάνει ένα μεγάλο λάθος. Με τη Βασίλισσα και τον Πύργο διπλωμένους στη στήλη c ο μαύρος θα έπρεπε να αποφύγει το άνοιγμα της στήλης αυτής. Τώρα ο λευκός έχει ένα σαφές πλεονέκτημα. Προτιμότερο ήταν το 11... Nxc3 12. bxc3 και τότε μόνο b6.

12. Nxd5 cxd5, 13. Bd3

Η υπεροχή του λευκού είναι καταφανέστατη. Ο λευκός, με εξαίρεση τον Πύργο στο f1, έχει ολοκληρώσει την ανάπτυξή του κυριαρχώντας στην ανοικτή στήλη c. Αντιθέτως, ο μαύρος είναι αναγκασμένος να αντιμετωπίσει τις άμεσες απειλές του λευκού, όπως το Bxh7+, τη στιγμή που οι Πύργοι και ο Αξιωματικός του βρίσκονται ακόμη στα αρχικά τους τετράγωνα.

13... h6

Είναι δύσκολο να καταλάβει κανείς το παιχνίδι του Vidmar. Ανώτερο ήταν το 13... Nf6 κρατώντας το h7, τοποθετώντας τον Ίππο στο φυσιολογικό του τετράγωνο και βοηθώντας την ανάπτυξη του Αξιωματικού. Η επόμενη κίνηση του Capablanca σφίγγει ακόμη περισσότερο τα λουριά.

14. Qc7

Στερεί το b7 για το μαύρο Αξιωματικό εμποδίζοντας την ανάπτυξη του μαύρου. 

14... Qb4

Φαινομενικά καλό. Η μαύρη Βασίλισσα φαίνεται να δημιουργεί αντιπαιχνίδι εισβάλλοντας στο στρατόπεδο του λευκού και απειλώντας το πιόνι b2. Η κίνηση όμως του λευκού προσγειώνει «ανώμαλα» τον Vidmar. 

15. a3

Ο Capablanca τα έχει δει όλα. Εάν 15... Qxb2, τότε ακολουθεί 16. Ra1 Qb3, 17. Qc6 Rb8, 18. Bb5 a6, 19. Rfb1 και η Βασίλισσα παγιδεύεται!

15... Qa4, 16. h3 Nf6

Ο Ίππος θα μπορούσε ήδη να βρίσκεται εκεί...

17. Ne5 Bd7?

Κακή κίνηση που χάνει υλικό σε μια ούτως ή άλλως δύσκολη θέση. Η θέση του μαύρου πλέον καταρρέει.

18. Bc2 Qb5, 19. a4 Qxb2, 20. Nxd7 Rc8, 21. Qb7 Nxd7, 22. Bh7+ Kxh7, 23. Rxc8 Rxc8, 24. Qxc8

Η θέση του μαύρου είναι απελπιστική. Ο Vidmar συνέχισε ωστόσο να παίζει ελπίζοντας ίσως σε κάποιο θαύμα... 

24... Nf6, 25. Rc1 Qb4, 26. Qc2+ Kg8, 27. Qc6 Qa3, 28. Qa8+ Kh7, 29. Rc7 Qxa4, 30. Rxf7 Qd1+, 31. Kh2 Qh5, 32. Qxa7 Qg6, 33. Rf8 Qf5, 34. Rf7 Qg6, 35. Rb7 Ne4, 36. Qa2 e5, 37. Qxd5 exd4, 38. Rb8 Nf6, 39. Qxd4 Qf5, 40. Rxb6 Qxf2, 41. Qd3+ Kg8, 42. Rb8+

Και φτάσαμε έτσι στο επίμαχο σημείο. Στη θέση αυτή ο αγώνας διακόπηκε, τα ρολόγια των παικτών σταμάτησαν, ο Vidmar έγραψε μυστικά στο παρτιδόφυλλο την επόμενη κίνησή του, τοποθέτησε το παρτιδόφυλλο σε ένα φάκελο και τον έδωσε στο διαιτητή. Οι παίκτες αποχώρησαν από την αίθουσα και πήγαν να ξεκουραστούν και να ετοιμαστούν για τη συνέχεια που θα ακολουθούσε την επομένη. Και ήταν ακριβώς η επόμενη ημέρα κατά τη διάρκεια της οποίας παίχτηκε η καλύτερη κίνηση. 

Μία μέρα μετά λοιπόν, τα κομμάτια τοποθετήθηκαν στη σωστή τους θέση, τα ρολόγια ρυθμίστηκαν στο χρόνο που απέμενε τη στιγμή της διακοπής και όλα ήταν έτοιμα για να συνεχιστεί ο αγώνας. Ή σχεδόν όλα. Οι διαιτητές ξεκίνησαν τα ρολόγια, ο Vidmar ήταν καθισμένος στη θέση του, απέναντι του όμως η καρέκλα ήταν άδεια. Για κάποιο λόγο ο Capablanca είχε καθυστερήσει να εμφανιστεί στο χώρο. Ο χρόνος του όμως κυλούσε αντίστροφα ερήμην του. Η θέση του λευκού ήταν αντικειμενικά κερδισμένη, ωστόσο ο Capablanca δεν ήταν εκεί για να κουνήσει τους πεσσούς του και να το αποδείξει επάνω στη σκακιέρα. Ο Vidmar σηκώθηκε μια δυο φορές από την καρέκλα του, έκανε μερικούς γύρους στην αίθουσα, έριξε μερικές ματιές στις άλλες παρτίδες που εξελίσσονταν παράλληλα και ήταν φανερά ανήσυχος για τον αντίπαλό του. «Είναι αδύνατο να κερδίσω με αυτόν τον τρόπο!», συλλογίστηκε. Και το συλλογίστηκε τόσο δυνατά που δεν θα ήταν υπερβολή να πει κανείς ότι ακούστηκε ο αντίλαλος της σκέψης του στην αίθουσα. Κάποια στιγμή, ενώ είχε απομείνει ελάχιστος χρόνος στο ρολόι του Capablanca, λιγότερο ίσως από ένα λεπτό, ο Vidmar έτρεξε στο τραπέζι του, ακούμπησε το Βασιλιά του αποφασισμένος να παίξει τη μεγαλοπρεπέστερη κίνηση της ζωής του και ξάπλωσε το Βασιλιά επάνω στη σκακιέρα μπροστά στα μάτια του διαιτητή εγκαταλείποντας! 

Μετά από λίγα λεπτά κατέφθασε αργοπορημένα στην αίθουσα ο Capablanca. Πήγε επάνω από τη σκακιέρα του να δει, γύρισε το βλέμμα του στον Vidmar και μειδίασε...

Sure bet

Τον τελευταίο μήνα διεξήχθη το 15^ο ευρωπαϊκό πρωτάθλημα ποδοσφαίρου στη Γαλλία. Με αφορμή το γεγονός αυτό, μετά από περίπου 16 χρόνια από τότε που το ξανάκανα, είπα να δοκιμάσω την τύχη μου στο Πάμε Στοίχημα. Έκανα τις προβλέψεις μου για κάποια ματς, συμπλήρωσα και καταχώρησα το δελτίο μου στο πρακτορείο και περίμενα να δω την τύχη μου. Και στάθηκα πολύ τυχερός... Έχασα! Αυτό όμως δεν έχει καμία απολύτως σημασία. Η τύχη μου έγκειται στο ότι το Πάμε Στοίχημα μου 'δωσε την ευκαιρία να έρθω αντιμέτωπος με ένα πολύ ενδιαφέρον μαθηματικό πρόβλημα. 

Πρόσφατα στη δουλειά μου είχα ακούσει από ένα συνάδελφο για ένα σύστημα σίγουρου πονταρίσματος το οποίο κυκλοφορεί στο χώρο του στοιχήματος με την προσωνυμία «sure bet». Κατά τη διάρκεια λοιπόν της ημέρας που έπαιξα κι ενώ περίμενα να δω τα αποτελέσματα, ένιωσα την περιέργειά μου εξημμένη. Έψαξα να βρω στο Internet πληροφορίες για αυτό το σύστημα, αλλά παρότι βρήκα μια στίβα λέξεις δε βρήκα και πολλούς αριθμούς και οι αριθμοί πάντα μου άρεσαν περισσότερο από τις λέξεις. Σκέφτηκα, «δεν τα βάζω μόνος μου κάτω να δω τι είναι αυτό το sure bet και πώς δουλεύει;». Αποφάσισα λοιπόν να ικανοποιήσω την περιέργειά μου και διαπίστωσα για άλλη μια φορά ότι το προς αποφυγήν παράδειγμα που λέγεται τζόγος θέτει ενίοτε διδακτικά μαθηματικά προβλήματα. Ας δούμε λοιπόν τι είναι το sure bet.

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μπροστά μας ένα παιχνίδι στο οποίο υπάρχουν n πιθανά ενδεχόμενα. Για παράδειγμα, εάν αναφερόμαστε στο τελικό αποτέλεσμα ενός αγώνα ποδοσφαίρου, τότε υπάρχουν τρια ενδεχόμενα (1-Χ-2) και άρα στην περίπτωση αυτή n=3. Έστω επίσης ότι η απόδοση για το ενδεχόμενο i είναι p_i, για i από 1 ως n. Θα θέλαμε να δούμε τι ποσό x_i θα πρέπει να τοποθετήσουμε (ποντάρουμε) σε καθένα από τα n ενδεχόμενα σε ισάριθμα δελτία, ώστε να έχουμε σίγουρο κέρδος μια νομισματική μονάδα (π.χ. ευρώ) και φυσικά εάν και πότε κάτι τέτοιο είναι δυνατό. Αν υποθέσουμε ότι το άθροισμα των x_i (το συνολικό μας ποντάρισμα δηλαδή στα n δελτία) ισούται με N μονάδες, τότε, δεδομένου οτι θα συμβεί ακριβώς ένα από τα n ενδεχόμενα, το κέρδος μας σε περίπτωση που πραγματοποιηθεί το i ενδεχόμενο θα είναι p_ix_i - N κι εφόσον θέλουμε αυτό το κέρδος να είναι 1 θα πρέπει p_ix_i - N = 1. Συνεπώς το πρόβλημα που έχουμε να λύσουμε μεταφράζεται στην επίλυση του επόμενου συστήματος γραμμικών εξισώσεων:

το οποίο έχει n+1 αγνώστους και n+1 εξισώσεις. Ένα τέτοιο σύστημα επιλύεται με τη μέθοδο Cramer. Με βάση αυτήν τη μέθοδο θα πρέπει να υπολογιστεί η ορίζουσα των συντελεστών του συστήματος

καθώς και για κάθε i οι ορίζουσες 

Για τον υπολογισμό της ορίζουσας D, ορίζουμε τις βοηθητικές υποορίζουσες R_k και S_k με τον εξής τρόπο:

  

Για τα R_k και S_k ισχύουν οι αναγωγικοί τύποι:

και επιπλέον 

Αναλύοντας λοιπόν την ορίζουσα D κατά τα στοιχεία της πρώτης γραμμής και συνεχίζοντας επαγωγικά με αυτόν τον τρόπο λαμβάνουμε:

Για την ορίζουσα D_i με πρόσθεση της πρώτης στήλης στην i στήλη προκύπτει αρκετά εύκολα ότι 

Συνδυάζοντας λοιπόν το D_i με το D έχουμε:

Παρατηρούμε ότι ο παρονομαστής του παραπάνω κλάσματος είναι σταθερός και ανεξάρτητος του i και ουσιαστικά παίζει το ρόλο του κανονικοποιητή. Επειδή ο αριθμητής του κλάσματος είναι πάντα θετικός, για να υπάρχει η δυνατότητα σίγουρου κέρδους θα πρέπει και ο παρονομαστής να είναι θετικός, καθώς δε νοείται αρνητικό ποντάρισμα:

Το προηγούμενο ουσιαστικά αποτελεί κριτήριο που αποφαίνεται εάν ένα παιχνίδι επιτρέπει το sure bet: «Το άθροισμα των αντιστρόφων των αποδόσεων θα πρέπει να είναι μικρότερο του ένα». Εάν ισχύει κάτι τέτοιο τότε είμαστε σε θέση με 100% βεβαιότητα να κερδίσουμε μία νομισματική μονάδα ποντάροντας απλά x_i μονάδες στο i αποτέλεσμα, όπου για κάθε i, το x_i δίνεται από τον παραπάνω τύπο. Επιπλέον, αν θέλουμε να αποκτήσουμε K νομισματικές μονάδες, πάλι με απόλυτη βεβαιότητα αρκεί να ποντάρουμε Kx_i μονάδες στο i αποτέλεσμα, για κάθε i. 

Ως ένα απλό παράδειγμα, ας θεωρήσουμε ότι οι τρεις αποδόσεις ενός παιχνιδιού για τα αντίστοιχα αποτελέσματα (1-Χ-2) είναι 2.7, 3.8 και 2.8. Τότε έχουμε ότι το άθροισμα των αντιστρόφων των αποδόσεων ισούται με 0.99, πράγμα που σημαίνει ότι εντοπίστηκε ένα sure bet. Με χρήση των ως άνω τύπων λαμβάνουμε ότι θα πρέπει να ποντάρουμε 39.7 στο 1, 28.2 στο Χ και 38.3 στο 2. Έτσι θα έχουμε ποντάρει συνολικά 39.7+28.2+38.3=106.2. Σε κάθε περίπτωση, όποιο αποτέλεσμα δηλαδή κι αν βγει, το κέρδος μας αφού αφαιρεθεί το ποσό που ποντάραμε, πολύ ευκολά υπολογίζεται ότι θα είναι 1.

Φυσικά οι άνθρωποι που βγάζουν τις αποδόσεις των παιχνιδιών έχουν την παραπάνω γνώση και επιμελώς αποφεύγουν να ορίσουν αποδόσεις που επιτρέπουν το sure bet. Πράγματι πολύ εύκολα μπορεί κάποιος να διαπιστώσει ότι σε όλα τα παιχνίδια του στοιχήματος, το άθροισμα των αντιστρόφων των αποδόσεων είναι πάντοτε μεγαλύτερο κατάτι από τη μονάδα. Συνεπώς είναι ουτοπικό να προσπαθεί κάποιος να εντοπίσει κάποιο παιχνίδι που δίνει τη δυνατότητα του sure bet. Ωστόσο, συνοψίζοντας την παραπάνω εκτεθείσα ανάλυση μπορεί να εξαχθεί ένα χρήσιμο συμπέρασμα. Όσο πιο κοντά βρίσκεται το παραπάνω άθροισμα στη μονάδα, τόσο πιο συμφέρον είναι κατά μέσο όρο το ποντάρισμα στο συγκεκριμένο παιχνίδι. Μάλιστα, αν το άθροισμα αυτό γίνει ίσο με τη μονάδα, τότε οι αποδόσεις του παιχνιδιού είναι απόλυτα δίκαιες.

Τα μαθηματικά του ΚΙΝΟ

Το ΚΙΝΟ είναι ένα «τυχερό παίγνιο» το οποίο δίνει την ελπίδα για μεγάλα κέρδη στους συμμετέχοντες. Οι κανόνες του είναι απλοί και αυτό σε συνδυασμό με τα πραγματικού χρόνου αποτελέσματα είναι δυο λόγοι για τους οποίους είναι ένα τόσο διαδεδομένο παιχνίδι. Όπως συμβαίνει συνήθως με αυτού του είδους τα παιχνίδια, αν και ανήκουν στην κατηγορία του τζόγου κι ενέχουν τον κίνδυνο του εθισμού, εντούτοις προσφέρουν πολύ ενδιαφέροντα μαθηματικά προβλήματα πιθανοτήτων. Το ίδιο συμβαίνει και με το ΚΙΝΟ. Πιο συγκεκριμένα, το ΚΙΝΟ σε κάθε διαγωνισμό κληρώνει 20 τυχαίους από τους 80 πρώτους φυσικούς αριθμούς και ζητάει από τους συμμετέχοντες να προβλέψουν τους περισσότερους δυνατούς από τους κληρωθέντες αριθμούς επιστρέφοντας σε περίπτωση επιτυχίας τα αντίστοιχα κέρδη. Ο κάθε παίκτης ορίζει πόσους αριθμούς επιδιώκει να προβλέψει από 1 έως 12 και ανάλογα με το πόσους από αυτούς προβλέπει σωστά, παίρνει και τις αντίστοιχες αποδόσεις. Κάποια εύλογα ερωτήματα λοιπόν που ανακύπτουν είναι τα εξής: Πόσο καλές είναι αυτές οι αποδόσεις; Ποια η πιθανότητα να κερδίσει κανείς; Είναι δίκαιο παιχνίδι το ΚΙΝΟ; Παρακάτω θα προσπαθήσουμε να απαντήσουμε αυτές τις ερωτήσεις με αυστηρά μαθηματικό τρόπο.

Υπάρχει ένα κριτήριο το οποίο αποφαίνεται εάν ένα τυχερό παιχνίδι είναι δίκαιο ή όχι. Για το κριτήριο αυτό είναι απαραίτητος ο συντελεστής μέσου αναμενόμενου κέρδους c, ο οποίος μας δείχνει τι ποσοστό του πονταρίσματος αναμένεται να επιστραφεί ως κέρδος στον παίκτη. Π.χ., εάν c=1.5 αυτό σημαίνει ότι αν κάποιος ποντάρει μια νομισματική μονάδα (π.χ., ευρώ), θα λάβει πίσω 1.5 μονάδες (ευρώ) και συνεπώς το κέρδος του θα είναι 0.5 μονάδες. Είναι φανερό ότι όταν c>1 ο παίκτης αναμένεται να βγει κερδισμένος από οποιοδήποτε ποντάρισμα, όταν c<1 αναμένεται να βγει χαμένος, ενώ όταν c=1 αναμένεται να πάρει απλά πίσω το ποντάρισμα. Φυσικά κάτι τέτοιο δε θα συμβαίνει κάθε φορά που κάποιος παίζει, ωστόσο ο νόμος των μεγάλων αριθμών εγγυάται ότι εάν η διαδικασία του πονταρίσματος επαναλαμβάνεται για πολλές φορές τότε το συνολικό κέρδος θα πλησιάζει την τιμή που καθορίζεται από τον συντελεστή c. Με βάση τα παραπάνω, είναι προφανές ότι ένα παιχνίδι για να χαρακτηριστεί δίκαιο θα πρέπει να έχει συντελεστή αναμενόμενου κέρδους c=1. Ας δούμε λοιπόν τι συμβαίνει με το c του ΚΙΝΟ.

Για την εύρεση του c, είναι απαραίτητο να υπολογιστούν οι πιθανότητες επιτυχίας όλων των δυνατών διαφορετικών περιπτώσεων που υπάρχουν σε μια κλήρωση. Με χρήση Συνδυαστικής, η πιθανότητα να διαλέξει κάποιος K από ένα σύνολο N αριθμών, από αυτούς τους N να κληρωθούν οι D αριθμοί και S από τους K να περιέχονται σε αυτούς τους D αριθμούς δίνεται από τον παρακάτω τύπο:

\[ P_K^S = \frac{\binom{D}{S} \binom{N-D}{K-S}}{\binom{N}{K}} \]

Στην περίπτωση του ΚΙΝΟ, το N=80 και το D=20. Οπότε στη μελέτη μας θα χρειαστεί να υπολογίσουμε τις πιθανότητες επιτυχίας για τις διάφορες δυνατές τιμές των μεταβλητών K και S. Οι πιθανότητες αυτές συνοψίζονται στον επόμενο πίνακα. 

Πίνακας 1. Πιθανότητες όλων των δυνατών ενδεχομένων.

Παραδείγματος χάριν, εφόσον το (2, 3)-στοιχείο του Πίνακα 1 είναι 0.14, αυτό σημαίνει ότι εάν επιλέξουμε 3 αριθμούς, τότε η πιθανότητα να κληρωθούν οι 2 από αυτούς ισούται με 14%. Οι παραπάνω πιθανότητες έχουν στρογγυλοποιηθεί στο δεύτερο δεκαδικό ψηφίο, ενώ όταν οι τιμές είναι μικρότερες του 0.01, αναγράφεται απλά η τάξη μεγέθους τους ως μια δύναμη του 10. 

Στο σημείο αυτό, προτού προχωρήσουμε παραπέρα, θα πρέπει να τονίσουμε ότι στην πραγματικότητα αναζητάμε 12 συντελεστές c, ένα για κάθε πλήθος επιλογών Κ από 1 μέχρι 12, μιας και το Κ καθορίζει κάθε φορά κι ένα διαφορετικό παιχνίδι. Για κάθε Κ λοιπόν, ο συντελεστής μέσου αναμενόμενου κέρδους c_K προκύπτει από τον τύπο:

\[ c_K = \sum_{(S,K) \in \mathcal{I}_K} odds(S,K) \,\, prob(S,K) \]

όπου I_K είναι το σύνολο όλων των αμοιβαίως αποκλειόμενων γεγονότων τα οποία καθορίζονται από τα ζεύγη (S, K) για τις διάφορες τιμές του S και για ένα συγκεκριμένο K, odds(S, K) είναι η πραγματική απόδοση που αφορά στο ζεύγος (S, K) και prob(S, K) είναι η πιθανότητα να συμβεί το ζεύγος (S, K). Στην προκειμένη περίπτωση σταθεροποιώντας το Κ σε μια από τις τιμές από 1 έως 12, το S παίρνει τις ακέραιες τιμές 0, 1,..., 12 και το αντίστοιχο γεγονός υπενθυμίζουμε ότι σημαίνει S επιτυχίες στις K επιλογές. 

Είναι φανερό ότι για να υπολογίσουμε τα c_K, χρειαζόμαστε τις πραγματικές αποδόσεις για κάθε γεγονός. Οι αποδόσεις αυτές συγκεντρώνονται στον Πίνακα 2.  

Πίνακας 2. Πραγματικές αποδόσεις.

Οι τιμές των c_K για κάθε ξεχωριστό K που υπολογίζονται με βάση τον προηγούμενο τύπο συνοψίζονται στο Διάγραμμα 1.

Διάγραμμα 1. Συντελεστής μέσου αναμενόμενου κέρδους c_K για τις διάφορες τιμές του K.

Από το Διάγραμμα 1 παρατηρούμε ότι σχεδόν για οποιονδήποτε αριθμό επιλογών K, ο συντελεστής μέσου αναμενόμενου κέρδους είναι περίπου ίσος με 0.7. Αυτό δείχνει ότι σε κάθε περίπτωση ο παίκτης αναμένεται να πάρει πίσω το 70% ή ισοδύναμα να χάσει το 30% των χρημάτων που ποντάρισε, ποσοστό που αποτελεί τη λεγόμενη γκανιότα. Το γενικό συμπέρασμα λοιπόν που απαντά και στις ερωτήσεις που τέθηκαν στην αρχή είναι ότι το ΚΙΝΟ, από μαθηματική άποψη δεν είναι ένα δίκαιο παιχνίδι καθώς οι αποδόσεις είναι μικρότερες αυτών που θα έπρεπε και συνεπώς εάν κάποιος παίζει ΚΙΝΟ θα πρέπει να έχει υπόψιν του ότι αν και υπάρχει ασφαλώς η πιθανότητα να κερδίσει και μάλιστα πολλά λεφτά, ωστόσο είναι μεγαλύτερη η πιθανότητα να βγει χαμένος.

Όταν το λάθος γίνεται πλεονέκτημα

Η μάθηση βασίζεται σε δύο πυλώνες. Την επιβράβευση και τη διόρθωση. Μάλιστα, κατά τη γνώμη μου, η διόρθωση που συνδέεται με το λάθος είναι πιο σημαντική, καθώς δίνει την ευκαιρία στον μαθητευόμενο να αντιληφθεί τη φύση και τους μηχανισμούς που διέπουν το αντικείμενο προς μάθηση, ενώ το σωστό στην περίπτωση της επιβράβευσης είναι πιθανόν να είναι απλά προϊόν της τύχης, στερώντας μάλιστα την ανάλυση των διαφορετικών πτυχών του αντικειμένου. Για να λειτουργήσει σωστά όμως η διόρθωση θα πρέπει ο μαθητευόμενος να είναι διατεθειμένος να αναγνωρίζει τα λάθη του και το κυριότερο να παραδέχεται ότι κάνει λάθη. 

Το σκάκι είναι ένα παιχνίδι στο οποίο δεσπόζει το γνωστό ρητό «μαθαίνω από τα λάθη μου». Στην επόμενη παρτίδα ο μαύρος, εγώ δηλαδή, έκανα ένα λάθος που θα μπορούσε να μου στοιχίσει την παρτίδα, ωστόσο στάθηκα τυχερός, αφού ο αντίπαλός μου δεν το αντιλήφθηκε και το άφησε ανεκμετάλλευτο με αποτέλεσμα να γίνει πλεονέκτημα στα χέρια μου. Η παρτίδα παίχτηκε online στο lichess.org. Είναι μια τρίλεπτη παρτίδα blitz με bonus 2 δευτερολέπτων ανά κίνηση.

Alvisimo (2202) - Evarist (2121)

June 29, 2016

D02 - Queen's Pawn Opening

1. Nf3 Nf6, 2. d4 d5, 3. Bf4

Το εμετικό σύστημα του Λονδίνου του ανοίγματος του πιονιού της Βασίλισσας. Κατά την άποψή μου η καλύτερη συνέχεια για το μαύρο είναι να απαντήσει για μερικές κινήσεις συμμετρικά στις κινήσεις του λευκού και να αρκεστεί στην απόλυτη ισότητα που του παρέχει χωρίς ιδιαίτερο κόπο αυτό το άνοιγμα.

3...Bf5, 4. h3 h6, 5. e3 e6, 6. Bd3 Bd6

Ο μαύρος δε φοβάται το πάρσιμο του Αξιωματικού στο f5. Αντιθέτως μάλιστα, το επιζητά καθώς παρότι φαινομενικά καταστρέφει την πιονοδομή του, τα δύο πιόνια στο d5 και στο f5 επιτελούν ένα τεράστιο ρόλο στο κέντρο ενισχύοντας την προστασία του σημαντικού e4 τετραγώνου. 

7. Bxd6

Μάλλον πρόωρη και χωρίς λόγο αλλαγή που βοηθά την ανάπτυξη του μαύρου. Ο λευκός θα έπρεπε να διατηρήσει την ένταση μεταξύ των κομματιών στο κέντρο και ακολουθώντας σκεπτικό αντίστοιχο με αυτό του μαύρου να θέλει ένα πιόνι στο f4.

7...Qxd6, 8. Bxf5

Δεύτερη συνεχόμενη μικρή ανακρίβεια από το λευκό που κάνει τα «κέφια» του μαύρου. Ο μαύρος βγήκε από το άνοιγμα παραπάνω από ικανοποιημένος. 

8...exf5, 9. 0-0 Nbd7, 10. c4

Θεματική διάσπαση του κέντρου στα ανοίγματα του πιονιού της Βασίλισσας. Ο λευκός θέλει να αναπτύξει τον Ίππο του στο c3 αφού έχει προωθήσει το c2 πιόνι του. 

10...c6

Το 10...dxc4 αφήνει το λευκό με δύο κεντρικά πιόνια έναντι κανενός. 

11. cxd5

Ο λευκός για μια ακόμη φορά ξεκαθαρίζει το τοπίο πολύ γρήγορα κρατώντας το μαύρο ευχαριστημένο. 

11...Nxd5

Η αξία του f5 φαίνεται κι εδώ αφού αποτρέπει το ενδεχόμενο e4 διώχνοντας τον Ίππο. 

12. Nc3 0-0, 13. Qc2 g6, 14. Rac1 Ndf6, 15. Qb3

Χαμένο τέμπο για το λευκό. Η Βασίλισσα πήγε πρώτα στο c2 και από κει στο b3.

15...Qe7, 16. Ne5 f4?!

Λάθος! Βιαστική συνέχεια σε μια αρκετά ήσυχη θέση. Η τελευταία κίνηση του μαύρου είναι ανακριβής και οδηγεί σε απώλεια ενός πιονιού. Αρκεί βέβαια να το αντιληφθεί ο λευκός. Ο λόγος... το «καρφωμένο» f7! Έπρεπε πρώτα 16. ...Kg7 για να φύγει από το κάρφωμα. Τώρα, μετά τη σωστή συνέχεια 17. Nxd5! cxd5 (εάν 17. ...Nxd5, 18. e4 ακολουθούμενο από Nxg6 με διπλό χτύπημα σε Βασίλισσα και Πύργο), 18. exf4 κτλ. Η συνέχεια που επέλεξε όμως ο λευκός δίνει στο μαύρο το δικαίωμα να μετατρέψει το λάθος του σε πλεονέκτημα. 

17. e4?! Nxc3, 18. bxc3 Nxe4!?, 19. Nxg6 Qg5!

Αυτό μάλλον ξέφυγε από το μέτρημα του Λευκού. Το σωστό ήταν 19. Rfe1.

20. Nxf8??

Καθοριστικό λάθος το οποίο οδηγεί σε άμεση νίκη του μαύρου. Ο λευκός δεν έχει αντιληφθεί το θανάσιμο κίνδυνο που διατρέχει ο Βασιλιάς του. Το σωστό ήταν 20. Ne5 αγνοώντας το υλικό κέρδος και οδηγώντας σε αμφίρροπο παιχνίδι μετά το 20. ...Νd2 του μαύρου. Φυσικά σε μια τρίλεπτη παρτίδα και ενώ έχουν απομείνει ελάχιστα δευτερόλεπτα στο ρολόι είναι υπερβολή να υπάρχει η απαίτηση οι παίκτες να μετρήσουν τα πάντα, ωστόσο τα λευκά θα έπρεπε να στραφούν στην άμυνα ώστε να αποφύγουν την ολοφάνερη επιθετική συνεργασία των μαύρων κομματιών στην πτέρυγα του Βασιλιά. Η επόμενη κίνηση του μαύρου έρχεται αυτόματα.

20...f3

Απειλώντας φυσικά ματ σε μία κίνηση. Η απάντηση του λευκού είναι αναγκαστική, ωστόσο απλά καθυστερεί το αναπόφευκτο...

21. g4 Qh4, 22. Kh2 Nxf2, 23. c4 Qxh3+, 24. Kg1 Qg2#. 

Η τελική θέση του ματ φαίνεται στο επόμενο διάγραμμα.

Στην παρτίδα αυτή ο λευκός λειτούργησε υλιστικά υποτιμώντας τις επιθετικές δυνατότητες του μαύρου και οδηγήθηκε σε γρήγορη ήττα. Από την άλλη, το ότι κέρδισα αυτήν την παρτίδα δεν εξιλεώνει το λάθος μου στην 16η κίνηση. Ένα λάθος δεν παύει να είναι λάθος ακόμη κι αν μετατραπεί σε πλεονέκτημα. Η κίνηση f4 στην επίμαχη θέση θα έπρεπε να αποφευχθεί (τουλάχιστον χωρίς το προπαρασκευαστικό Kg7) έστω κι αν υπήρχε η υπόνοια ότι ο αντίπαλος δεν θα ανακαλύψει τη σωστή συνέχεια και θα πέσει στην παγίδα. Στο σκάκι πρέπει πάντα να παίζει κανείς αναμένοντας τις καλύτερες απαντήσεις και να μην προσβλέπει ποτέ στο ανθρώπινο λάθος της στιγμής. Εκτός κι αν δεν υπάρχει άλλη επιλογή...