Tuesday, 13 December 2016

Το ενδιαφέρον σκακιστικό πρόβλημα του Σούφη

Το παρακάτω είναι ένα πολύ ενδιαφέρον σκακιστικό παζλ με συνθέτη τον αγαπητό φίλο Σπύρο Σούφη με τον οποίο έχω περάσει μερικές από τις πιο ευχάριστες στιγμές τις ζωής μου λύνοντας γρίφους και λέγοντας ανέκδοτα.

Στο επόμενο διάγραμμα, παίζουν τα λευκά και κάνουν ματ σε 3 το πολύ κινήσεις.


Το ενδιαφέρον σε αυτό το πρόβλημα δεν έγκειται στη δυσκολία του, καθώς έχουν μείνει πολύ λίγα κομμάτια και οι κινήσεις είναι περιορισμένες, αλλά στο ότι το «φιλοτέχνησε» ένας άνθρωπος ο οποίος σχετίζεται ελάχιστα με το σκάκι. Βέβαια, μέσα από αυτήν τη σκακιστική του σύνθεση, αποκαλύπτεται το κρυφό του ταλέντο! Ακολουθεί η κομψή λύση.

Παρατηρώντας ότι το μόνο κομμάτι που μπορεί να κουνήσει ο Μαύρος είναι ο Αξιωματικός, η σωστή πρώτη κίνηση είναι:

1. Kg2! zugzwang1!



1... Bg7, η καλύτερη άμυνα. Οτιδήποτε άλλο οδηγεί σε άμεσο ματ με Qf8#.


Τώρα όμως ακολουθεί 2. Qe8+



το οποίο εξαναγκάζει το Μαύρο να παίξει τη μοναδική επιτρεπτή κίνηση 2... Bf8.


Και τώρα φυσικά 3. Qxf8#


Πολύ όμορφο!


Αφού είδαμε την ιδέα που κρύβει αυτό το πρόβλημα, αξίζει να παρατηρήσουμε ότι η πρώτη κίνηση 1. Kg2 έιναι μοναδική! Εάν 1. Kg1 Be3+, 2. Kg2 Bh6!, και όμοια αν 1. Kh2 Bf4+, 2. Kg2 Bh6! (ή 2. Qxf4 Kg7), καθυστερώντας και στις δύο περιπτώσεις το Λευκό από το να πετύχει ματ στην τρίτη κίνηση.

Κλείνοντας, αξίζει να σημειωθεί ότι το πρόβλημα αυτό δημοσιεύτηκε στην ανακοίνωση της ίδρυσης του συλλόγου "Ζήνων Γλυφάδας" - στον οποίο πήγαινε ο Σπύρος σε μικρή ηλικία - από τον πρόεδρο του αθλητικού ομίλου Παναγή Σκλαβούνο το 1991. Αυτό κι αν είναι τιμή!

1zugzwang (γερμ.) είναι η κατάσταση στην οποία ένας παίκτης αν και θα προτιμούσε να πάει πάσο είναι αναγκασμένος να παίξει καταστρέφοντας τη θέση του.

Saturday, 19 November 2016

Τα θεμέλια των Μαθηματικών: Αξιωματική θεωρία συνόλων ZF

Τα Μαθηματικά θεμελιώνονται αξιωματικά. Αυτό σημαίνει ότι επιλέγονται κάποιες λογικές προτάσεις οι οποίες θεωρούνται από όλους αληθείς και με τη βοήθεια αυτών επάγονται νέες προτάσεις (θεωρήματα) οι οποίες όλες μαζί χτίζουν μια μαθηματική θεωρία. Οι αξιωματικές προτάσεις, συνήθως συμφωνούν με την εμπειρία ή τη διαίσθησή μας και είναι μη αντιφατικές. Η πιο γνωστή και πιο παλιά αξιωματική θεωρία είναι η Θεωρία Συνόλων Zermelo-Fraenkel (ZF), από τους Ernst Zermelo και Abraham Fraenkel. Στη συνέχεια αναφέρονται όλα τα αξιώματα της θεωρίας αυτής μαζί με τις τυπικές τους εκφράσεις. Αργότερα, επισυνάφθηκε ένα επιπλέον αξίωμα, το Αξίωμα της Επιλογής (Axiom of Choice), οδηγώντας στην επαυξημένη θεωρία ZFC, ωστόσο εδώ αναφέρονται μόνο τα 9 αρχικά αξιώματα της βασικής θεωρίας ZF. Προκαλεί δέος ότι (σχεδόν) όλα τα γνωστά Μαθηματικά στηρίζονται σε αυτά ακριβώς τα αξιώματα.


Αριστερά: Ernst Zermelo (27 Ιουλίου 1871 - 21 Μαΐου 1953). Δεξιά: Abraham Fraenkel (17 Φεβρουαρίου 1891 - 15 Οκτωβρίου 1965).

Α.1: Αξίωμα Έκτασης
Οποιαδήποτε σύνολα x και y είναι ίσα αν και μόνο αν έχουν τα ίδια στοιχεία.

$(\forall x)(\forall y)(x=y \Leftrightarrow (\forall z)(z \in x \Leftrightarrow z \in y))$

Α.2: Αξίωμα Κενού Συνόλου
Υπάρχει σύνολο χωρίς στοιχεία.

$(\exists x)(\forall y)(y \notin x)$

Α.3: Αξίωμα Μη Διατεταγμένου Ζεύγους
Για οποιαδήποτε σύνολα x και y, υπάρχει σύνολο z που έχει στοιχεία του ακριβώς τα x και y.

$(\forall x)(\forall y)(\exists z)(\forall t)(t \in z \Leftrightarrow (t=x) \vee (t=y))$

Α.4: Αξίωμα Ένωσης
Για κάθε σύνολο α, υπάρχει σύνολο β, που αποτελείται από τα σύνολα που ανήκουν σε ένα τουλάχιστον στοιχείο του α.

$(\forall \alpha)(\exists \beta)(\forall x)(x \in \beta \Leftrightarrow (\exists y \in \alpha)(x \in y))$

Α.5: Αξίωμα Δυναμοσυνόλου
Για κάθε σύνολο α, υπάρχει σύνολο β που έχει για στοιχεία του ακριβώς τα υποσύνολα του α.

$(\forall \alpha)(\exists \beta)(\forall x)(x \in \beta \Leftrightarrow (\forall y)(y \in x \Rightarrow y \in \alpha))$

Α.6: Αξίωμα Σχήμα Υποσυνόλων
Για κάθε σύνολο α, υπάρχει σύνολο β, το οποίο αποτελείται από όλα τα στοιχεία x του α που έχουν την ιδιότητα p(x).

$(\forall \alpha)(\exists \beta)(\forall x)(x \in \beta \Leftrightarrow (x \in \alpha) \wedge (p(x)))$

Α.7: Αξίωμα του Απείρου
Υπάρχει επαγωγικό σύνολο.

$(\exists \alpha)(\emptyset \in \alpha \wedge (\forall x \in \alpha)(x \cup \{x\} \in \alpha))$

Α.8: Αξίωμα Σχήμα Αντικατάστασης
Έστω p(x,y) συναρτησιακή ιδιότητα. Για κάθε σύνολο α, υπάρχει σύνολο β, το οποίο αποτελείται από όλα τα σύνολα y για τα οποία υπάρχει x που να ανήκει στο α, έτσι ώστε για τα x και y να ισχύει η ιδιότητα p(x,y).

$[p(x,y) \wedge p(x,z) \Rightarrow y=z ] \Rightarrow [(\forall \alpha)(\exists \beta)(\forall y)(y \in \beta \Leftrightarrow (\exists x \in \alpha)(p(x,y)))]$

Α.9: Αξίωμα Βάσης
Κάθε μη κενό σύνολο α έχει στοιχείο β, τέτοιο ώστε η τομή του α με το β να ισούται με το κενό σύνολο.

$(\forall \alpha \ne \emptyset)(\exists \beta \in \alpha)(\alpha \cap \beta = \emptyset)$

Saturday, 22 October 2016

Karpov Diem

Μετά τον Garry Kasparov και ο «τεράστιος» Anatoly Karpov βρέθηκε στην Θεσσαλονίκη. Η επίσκεψή του έγινε την Κυριακή 16 Νοεμβρίου 2016, στο πλαίσιο του σκακιστικού φεστιβάλ "Chessnale Thessaloniki 2016", το οποίο διοργανώθηκε για πρώτη φορά στην πόλη μας. Ο πρώην παγκόσμιος πρωταθλητής έδωσε μια επίδειξη σιμουλτανέ στην κεντρική πλατεία του Mediterranean Cosmos απέναντι σε 28 νεαρούς σκακιστές που είχαν την ευκαιρία να τον δουν από κοντά και να παίξουν μαζί του.

Ο Anatoly Karpov κατά την επίδειξη σιμουλτανέ.
Με αφορμή το γεγονός αυτό, παρατίθεται η «αθάνατη» παρτίδα του Karpov με αντίπαλο τον μεγάλο Kasparov. Η παρτίδα αυτή είναι η 9η από το ματς των αιωνίων για τον παγκόσμιο τίτλο το 1984. Το ματς αυτό έμεινε στην ιστορία καθώς μετά από 48 αναμετρήσεις μεταξύ των δύο γιγάντων, σε διάστημα 5 μηνών, διακόπηκε από τους διοργανωτές κάτω από αμφιλεγόμενες περιστάσεις, με τον Karpov να προηγείται με πέντε νίκες έναντι τριών του Kasparov και με τους δύο παίκτες να μετρούν 40 ισοπαλίες! Οι διοργανωτές στήριξαν την απόφασή τους στον κίνδυνο που διέτρεχε η υγεία των δύο παικτών, παρότι και οι δύο ζήτησαν επίμονα να συνεχιστεί κανονικά το ματς. Τελικά το ματς ξεκίνησε πάλι από την αρχή μερικούς μήνες αργότερα, το 1985, με τον Kasparov να αναδεικνύεται παγκόσμιος πρωταθλητής.

Karpov - Kasparov
D34 - Queen's Gambit Declined, Tarrasch

1. d4 d5, 2. c4 e6, 3. Nf3 c5, 4. cxd5 exd5, 5. g3 Nf6, 6. Bg2 Be7, 7. O-O O-O, 8. Nc3 Nc6, 9. Bg5 cxd4, 10. Nxd4 h6, 11. Be3 Re8, 12. Qb3.



Η πιο συνήθης συνέχεια εδώ είναι 12. Rc1.

12...Na5, 13. Qc2 Bg4, 14. Nf5 Rc8, 15. Bd4 



μπλοκάροντας το πιόνι στο d5.

15...Bc5.

Προσπαθεί αμέσως να ξεμπλοκάρει.

16. Bxc5 Rxc5, 17. Ne3 

ασκώντας πίεση στο d5. Δεν φοβάται το 17...d4, λόγω του 18. Rd1 που καρφώνει το πιόνι.

17...Be6, 18. Rd1 Qc8, 19. Qa4 Rd8, 20. Rd3 a6, 21. Rfd1 Nc4, 22. Nxc4 Rxc4.



Φυσικά το 22...dxc4 είναι αδύνατο καθώς εκθέτει τον πύργο στο d8. Με αυτόν τον τρόπο ο λευκός καταφέρνει να διατηρήσει το απομονωμένο πιόνι d5 στο παιχνίδι. 

Ως γενική παρατήρηση, η στρατηγική του λευκού καθορίζεται από την τοποθέτηση σχεδόν όλων των μαύρων πιονιών σε τετράγωνα ίδιου χρώματος με αυτό στο οποίο κινείται ο Αξιωματικός τους (λευκό δηλαδή). Υπό αυτές τις προϋποθέσεις, σε ένα ενδεχόμενο φινάλε, ο μαύρος Αξιωματικός μετατρέπεται αυτόματα σε «κακό» κομμάτι. Το μακρόπνοο σχέδιο λοιπόν του Karpov είναι να οδηγήσει την παρτίδα σε φινάλε Ίππου εναντίον Αξιωματικού με μεγάλες πιθανότητες νίκης.

23. Qa5 Rc5, 24. Qb6 Rd7, 25. Rd4 Qc7 



προσφέρωντας την αλλαγή των Βασιλισσών. Αυτό ευνοεί τον λευκό όπως είδαμε, αλλά ο μαύρος προσπαθεί να απαλλαγεί λίγο από την πίεση που δέχεται. 

26. Qxc7 Rdxc7, 27. h3 



Το άμεσο 27. Nxd5 δεν είναι καλό διότι ακολουθεί 27...Nxd5, 28. Bxd5 Bxd5, 29. Rxd5 Rxd5, 30. Rxd5 Rc2 παίρνοντας πίσω το χαμένο πιόνι και ισοφαρίζοντας τη θέση.

27...h5, 28. a3 g6, 29. e3



Σύμφωνα πάντα με τη στρατηγική που έχει επιλέξει, ο Karpov τοποθετεί τα πιόνια του σε μαύρα τετράγωνα βάζοντας τα θεμέλια για το αριστούργημα που θα ακολουθήσει.

29...Kg7, 30. Kh2 Rc4


Ο Kasparov προκαλεί το 31. Rxc4 με σκοπό να πάρει πίσω τον Πύργο μάλλον με 31...dxc4, ώστε να απαλλαγεί από το απομονωμένο του πιόνι στο d5, το οποίο βρίσκεται στο στόχαστρο των λευκών κομματιών. 

31. Bf3 b5, 32. Kg2 R7c5, 33. Rxc4 

Τελικά αποφασίζει να αλλάξει τους Πύργους. Αν 33...dxc4, τότε ο λευκός αποκτάει πλεονέκτημα με 34. Rd6 πιέζοντας τη βάση της αλυσίδας πιονιών του μαύρου στην πτέρυγα της Βασίλισσας. Για το λόγο αυτό, 

33...Rxc4, 34. Rd4!



Ο Karpov βάζει σε εφαρμογή το βασικό του σχέδιο που είναι να μεταφέρει όπως είπαμε την παρτίδα σε φινάλε.

34...Kf8, 35. Be2

Αν τώρα οπισθοχωρίσει ο Πύργος, τότε μια καλή συνέχεια για τα λευκά είναι το 36. a4 καταστρέφοντας τη δομή του μαύρου. 

35...Rxd4, 36. exd4 Ke7, 37. Na2



Ο Ίππος θέλει να πάει στο b4 για να επιτεθεί στο a6, αλλά κυρίως για να βρει το δρόμο του προς το c5 ή το e5, μέσω του d3.

37...Bc8, 38. Nb4 Kd6, 39. f3



στερώντας το e4 από τον μαύρο Ίππο και προετοιμάζοντας το h4. 

39...Ng8, 40. h4 Nh6



Θέλει να πάει στο f5 ώστε να ασκήσει πίεση στο d4 που ουσιαστικά αποτελεί το μόνο προσβάσιμο στόχο για τα μαύρα.

41. Kf2 Nf5, 42. Nc2 f6, 43. Bd3 



απειλώντας ξεκάθαρα να αλλάξει τον Αξιωματικό του για τον Ίππο. Εδώ η καλύτερη συνέχεια για τα μαύρα ήταν μάλλον η υποχώρηση του Ίππου στο e7 και παρά την ποιοτική υπεροχή των κομματιών του λευκού είναι δύσκολο να βρεθεί βέβαιος δρόμος προς τη νίκη. Ωστόσο, με το σκορ του ματς 3-0 εναντίον του, ο Kasparov προτίμησε να ακολουθήσει μια πιο ενεργητική γραμμή που όμως τελικά επιδείνωσε τη θέση του.

43...g5, 44. Bxf5!



Πιστός στο αρχικό του πλάνο. Αν 44. hxg5 fxg5, 45. g4 (διαφορετικά ο μαύρος απειλεί να βγάλει μακρινό ελεύθερο πιόνι με h4) hxg4, 46. Bxf5 (το fxg4 χάνει πιόνι μετά από Nh6!) Bxf5, 47. Ne3 Be6, 48. fxg4 καταλήγοντας σε μια θέση όπου ο λευκός έχει πάλι ένα μικρό πλεονέκτημα, αλλά μάλλον όχι αρκετό για να του αποφέρει τη νίκη. Η συνέχεια της παρτίδας ήταν πολύ ανώτερη. 

44...Bxf5, 45. Ne3 Bb1, 46. b4!



Με την τελευταία του κίνηση ο λευκός σταματάει εντελώς την κινητικότητα των μαύρων πιονιών στην πτέρυγα της Βασίλισσας. 

46...gxh4



Ήδη μέχρι το σημείο αυτό ο Karpov έχει κατασκευάσει ένα σκακιστικό αριστούργημα. Με τις γεμάτες στρατηγικό περιεχόμενο κινήσεις του, κατάφερε να εξασφαλίσει ένα σταθερά αυξανόμενο πλεονέκτημα έναντι του αντιπάλου του. Όμως, από μια «αθάνατη» παρτίδα δεν λείπει συνήθως αυτή η «μία» κίνηση, η τόσο ξεχωριστή, που μένει ανεξίτηλη στην ιστορία και στολίζει τα βιβλία με την ομορφιά της αλλά και την αποτελεσματικότητά της. Στο σημείο λοιπόν αυτό, ο Karpov έπαιξε μια από τις πιο θαυμάσιες, κατά τη γνώμη μου, κινήσεις που έχουν παιχτεί ποτέ σε φινάλε!   

Η συντριπτική πλειοψηφία των παικτών στη θέση αυτή θα έπαιζε το απόλυτα φυσιολογικό 47. gxh4 επαναφέροντας την υλική ισορροπία και διατηρώντας ένα ελαφρύ στρατηγικό πλεονέκτημα, που όμως δεν είναι καθόλου σίγουρο ότι μπορεί να μετατραπεί σε νίκη για τον λευκό. Ο Karpov όμως είχε άλλη γνώμη...

47. Ng2!!



Επιτρέπει στον μαύρο να πάρει και δεύτερο πιόνι με hxg3 και μάλιστα με τέμπο! Η εξαιρετική ιδέα του Karpov είναι να φτιάξει μονοπάτι για τον Βασιλιά ώστε να φτάσει στο h4 τετράγωνο και αφού πάρει το h5 πιόνι, να εισβάλει στο στρατόπεδο του μαύρου και να μαζέψει τα υπόλοιπα μαύρα πιόνια. Πρόκειται ουσιαστικά για μια ψευδοθυσία, αφού αργά ή γρήγορα ο λευκός θα ανακτήσει το υλικό που θυσίασε με αυξημένο το στρατηγικό του πλεονέκτημα. 

Τώρα, αν 47...h3, 48. Nf4 h2 (Αν 48...Bf5, 49. Nxh5 κτλ), 49. Kg2, αιχμαλωτίζοντας το πιόνι και συνεχίζοντας κατόπιν στο αρχικό σχέδιο της εισβολής. Ο Kasparov προτίμησε να συνεχίσει ως εξής:

47...hxg3+, 48. Kxg3 Ke6, 49. Nf4+!



Αν 49. Kh4 Kf5, 50. Kxh5 Be4!, 51. fxe4 (ή 51. Nh4+, 52. Kf4 κτλ.) Kxe4 με ισοπαλία, καθώς ο μαύρος Βασιλιάς μαζεύει τα υπόλοιπα λευκά πιόνια με ευκολία.

49...Kf5, 50. Nxh5



Τώρα το 50. Be4 δεν δουλεύει λόγω του 51. fxe4 Kxe4, 52. Nxf6+ Kxd4, 53. Kf4 Kc4, 54. Ke3 Kb3, 55. Nxd5 Kxa3, 56. Kd4 με τον Ίππο να προστατεύει το τελευταίο, αλλά αρκετό για τη νίκη, λευκό πιόνι στο b4, και αν 56...Ka4, τότε 57. Kc5 a5, 58. Nb6+ Kb3, 59. bxa5 κτλ.

50...Ke6, 51. Nf4+ Kd6, 52. Kg4 Bc2, 53. Kh5 Bd1, 54. Kg6



αδιαφορώντας για το f3 πιόνι που αποτελούσε και τη μοναδική αδυναμία του λευκού.

54...Ke7



Δίνει εκούσια το d5 πιόνι. Ακόμη και με 54...Bxf3, 55. Kxf6 βγαίνει θεωρητικά κερδισμένο φινάλε. 

55. Nxd5+ Ke6, 56. Nc7+ Kd7, 57. Nxa6



Προκαλεί εντύπωση ότι ενώ κάποια στιγμή ο Karpov έχανε δύο πιόνια, τώρα είναι δύο πιόνια πάνω!

57...Bxf3, 58. Kxf6 Kd6, 59. Kf5 Kd5, 60. Kf4



Καταφέρνει να υπερασπιστεί το d4 με τέμπο. Η υπόλοιπη παρτίδα παρατίθεται χωρίς σχόλια, καθώς η νίκη είναι καθαρά ζήτημα τεχνικής.

60...Bh1, 61. Ke3 Kc4, 62. Nc5 Bc6, 63. Nd3 Bg2, 64. Ne5+ Kc3, 65. Ng6 Kc4, 66. Ne7 Bb7, 67. Nf5 Bg2, 68. Nd6+ Kb3, 69. Nxb5 Ka4, 70. Nd6



Και στο σημείο αυτό ο Kasparov εγκατέλειψε.

Saturday, 1 October 2016

Αγνώστου Ταυτότητος Σκακιστική Μηχανή (ΑΤΣΜ)

Στο άρθρο αυτό παρουσιάζεται μια ενδιαφέρουσα τρίλεπτη online παρτίδα μου στο website Chess.com. Υπάρχουν τρεις βασικοί λόγοι που με οδήγησαν να τη δημοσιεύσω: α) στην παρτίδα αυτή υπάρχει ένας από τους καλύτερους συνδυασμούς που έχω παίξει ποτέ σε blitz (και όχι μόνο...), β) αντίπαλός μου είναι ένα ανθρωποειδές που μπορεί να σκέφτεται μόνο με τεχνητή υποστήριξη μέσω μιας σκακιστικής μηχανής και γ) αναλύοντας την παρτίδα μου offline βρέθηκα αντιμέτωπος με μια περίεργη κατάσταση που αμφισβητεί τη δύναμη των αλγορίθμων που χρησιμοποιούν οι σκακιστικές μηχανές.

Από τις πρώτες κιόλας κινήσεις κατάλαβα ότι ο αντίπαλός μου κάνει cheating, κλέβει δηλαδή με τη βοήθεια σκακιστικής μηχανής. Πώς το κατάλαβα; Όταν κάποιος ισχυρός (κατά τα φαινόμενα) παίκτης σε μια τρίλεπτη παρτίδα αφιερώνει 5 και πλέον δευτερόλεπτα ήδη στις πρώτες κινήσεις - που υπό φυσιολογικές συνθήκες αυτές παίζονται σχεδόν ακαριαία - τότε αυτό είναι μια ισχυρή ένδειξη ότι κάτι δεν πάει καλά. Συνέβη όμως και κάτι ακόμη, όπως θα δούμε αργότερα, το οποίο επιβεβαίωσε πανυγηρικά τις αρχικές μου υποψίες. Υπομονή...

Επειδή τυχαίνει αρκετά συχνά να νομίζεις ότι παίζεις με άνθρωπο και τελικά πίσω από την οθόνη να κρύβεται ένας υπολογιστής, έχω καταλήξει στο ότι δύο τεινά μπορούν να συμβούν. Είτε να χάσεις από έναν ανόητο που σπαταλάει τη ζωή του έχοντας την ψευδαίσθηση ότι είναι σπουδαίος και συμμεριζόμενος τη ματαιοδοξία του να του κάνεις αναφορά (abuse report) αναζητώντας το χαμένο σου δίκαιο, τη χαμένη σου παρτίδα και κατ' επέκτασην το χαμένο σου χρόνο, είτε να επωφεληθείς από το γεγονός, να το δεις ως μια πρόκληση και να προσπαθήσεις να παίξεις μια ενδιαφέρουσα, υψηλού επιπέδου παρτίδα, τσεκάροντας ταυτόχρονα τις δυνάμεις σου. Εγώ προτίμησα το δεύτερο. Η παρτίδα ξεκίνησε ως εξής:

1. e4 c5, 2. Nf3 d6, 3. d4 cxd4, 4. Nxd4 Nf6, 5. Nc3 a6, 6. Βe3 e6, 7. Qd2 Qc7, 8. f3 Be7, 9. O-O-O Nc6, 10. Nxc6 bxc6, 11. g4 d5, 12. g5 Nd7, 13. Kb1 O-O, 14. h4 a5, 15. exd5 cxd5, 16. h5 Rb1, 17. h6



Ξεπερνώντας το αρχικό αναπόφευκτο σάστισμα που συνοδεύει τη γνώση ότι δεν παίζεις με άνθρωπο, προέκυψε η παραπάνω κλασική θέση της Σικελικής με αντίθετα ροκέ. Στις θέσεις τέτοιου είδους είναι γνωστό ότι ο χρόνος (τέμπο) της επίθεσης για τις δυο παρατάξεις αποκτά τεράστια σημασία. Στη θέση του διαγράμματος, πιστεύω πως αν τα πράγματα κυλήσουν με φυσικό τρόπο, ο μαύρος, εγώ δηλαδή, είμαι εγγυημένα χαμένος. Ο Βασιλιάς μου είναι ζήτημα χρόνου να μείνει εκτεθειμένος στις δυνάμεις του λευκού και πρέπει να κάνω κάτι άμεσα αν θέλω να αποφύγω την ήττα. Από την άλλη όμως έχω κι εγώ με τη σειρά μου κάποιες δυνατότητες αντεπίθεσης στην πτέρυγα της Βασίλισσας όπου έχει καταφύγει με μεγάλο ροκέ ο λευκός Βασιλιάς. 

Σκακιστικές μηχανές αιχμής, όπως το Stockfish και το Deep Shredder, δίνουν ως καλύτερη απάντηση για το μαύρο το 17...g6 εκτιμώντας ότι στη θέση τα λευκά έχουν ένα προβάδισμα περίπου +0.80. Εγώ ωστόσο, φοβούμενος τη μόνιμη αδυναμία στο g7 που συνοδεύεται από τη μόνιμη στρατηγική απειλή του ματ με τη Βασίλισσα προτίμησα να «ανατινάξω» στην κυριολεξία τη θέση. Βασισμένος κυρίως στη διαίσθηση και λιγότερο στο μέτρημα, έβαλα μια παγίδα στον υπολογιστή. Άκου θράσος!

17...Bb4!?.



Η συνέχεια που έδωσε η Αγνώστου Ταυτότητος Σκακιστική Μηχανή (ΑΤΣΜ) του αντιπάλου μου ήταν 

18. Bf4 πέφτοντας αμέσως στην παγίδα! Μεταγενέστερη ανάλυση από το Stockfish έδειξε ότι μια καλύτερη συνέχεια θα ήταν το 18. Bd4 g6, 19. a3 Bc5, 20. Bg7 Rd8 με περισσότερες τύχες για τα λευκά. Στην παρτίδα, ο Αξιωματικός σουβλίζει τη Βασίλισσα και τον Πύργο μου και προκαλεί την απάντησή μου...

18...e5, 19. hxg7. 



Ουσιαστικά τώρα, μετά τα προκαταρκτικά ξεκινάει το κύριο μέρος του συνδυασμού μου. Προτού όμως προχωρήσουμε είναι ενδιαφέρον να πούμε ότι ο λευκός θα μπορούσε μετά το 18...e5 να πετύχει άμεση ισοπαλία με την εντυπωσιακή συνέχεια 19. Nxd5 Bxd2, 20. Ne7+! Kh8, 21. hxg7+ Kxg7, 22. Rxh7+! Kxh7, 23. Bd3+ Kg7, 24. Nf5+ Kg8, 25. Ne7+ κτλ.

19...Bxc3! αγνοώντας την απειλή του λευκού να αρπάξει τον Πύργο μου με τέμπο! 


20. Qd3! Το άμεσο 20. gxf8=Q+ Kxf8 είναι καταστροφικό καθώς ο λευκός παρά το υλικό του πλεονέκτημα έχει να αντιμετωπίσει τον καταιγισμό των πυρών του μαύρου, παρέχοντας την ίδια στιγμή καταφύγιο στο μαύρο Βασιλιά. Τώρα η απειλή είναι άμεση 21. Qxh7#. Όμως είναι σειρά του μαύρου να παίξει. 

20...Rxb2+, 21.  Kc1.



Στο σημείο αυτό ας κάνουμε μια σύντομη παύση. Ο λευκός Βασιλιάς φαίνεται να έχει βρει κι αυτός το δικό του καταφύγιο, η λευκή Βασίλισσα είναι έτοιμη να εισβάλει στο στρατόπεδο του μαύρου και η απειλή gxf8=Q+ εξακολουθεί να πλανάται. Η online ανάλυση του Stockfish 6 widget που είναι ενσωματωμένο στο interface του Chess.com δίνει ως καλύτερη συνέχεια το 21...f5, 22. gxf6(e.p.) Rb1+, 23. Kxb1 Qb7+, 24. Qb5 Rxf6 25. Qxb7+ Bxb7, 26. Bg5 Rg6, 27. Bd8 d4, 28. Bc4+ Kxg7 κτλ, με +1.05 για το λευκό (βλ. παρακάτω εικόνα). 


Η κίνηση που είχα όμως στο μυαλό μου όταν ξεκινούσα το συνδυασμό φαίνεται ότι ξέφυγε από το Stockfish και προφανώς και από τη μηχανή του αντιπάλου μου, όποια κι αν είναι αυτή.

21...Nf6!! Ψυχραιμία πάνω από όλα! Προστατεύει το h7 τετράγωνο και ανοίγει τη διαγώνιο για τον Αξιωματικό.


22. gxf6. Τι άλλο; Δένει το πιόνι στο g7 και ανανεώνει την απειλή Qxh7#. Όμως ο μαύρος έχει κι άλλο στράτευμα να θυσιάσει...

22...Bf5!! Τώρα αποκαλύπτεται η πραγματική ισχύς της ξεχασμένης επίθεσης του μαύρου. Ο Αξιωματικός παρεμβάλλεται μεταξύ της Βασίλισσας και του h7, απειλεί ευθέως τη Βασίλισσα και με «ακτίνες Χ» το c2 και στη χειρότερη περίπτωση για τα λευκά απομακρύνει τη Βασίλισσα από την προστασία του κρίσιμου b5 τετραγώνου! Η ιδέα είναι ότι το προφανές 23. Qxf5 χάνει αμέσως μετά από 23...Rb1+, 24. Kxb1 Qb7+, 25. Bb5 Qxb5+, 26. Kc1 Qb2#. Αυτή η απειλή που υπέβοσκε όλη αυτή την ώρα επάνω στη σκακιέρα είναι το κλειδί της επίθεσης του μαύρου. Ο λευκός είναι αναγκασμένος να εγκαταλείψει τη Βασίλισσά του προκειμένου να μην εγκαταλείψει την παρτίδα! Τώρα είναι αυτός που ψάχνει απεγνωσμένα την ισοπαλία.


23. gxf8=R+!!!

Τρια ειρωνικά θαυμαστικά που αποκαλύπτουν την απάτη! Προαγωγή σε Πύργο αντί για Βασίλισσα σε εξαιρετική μάλιστα πίεση χρόνου...! Απόλυτη υπακοή στις βουλές τις μηχανής... Ο αθεόφοβος δεν ντράπηκε να παίξει αυτήν την «κίνηση-κάρτα» επάνω στη σκακιέρα. Γιατί όμως υποπροαγωγή σε Πύργο από την ΑΤΣΜ; Αυτό είναι ένα γνωστό θέμα με κάποιους σκακιστικούς αλγορίθμους οι οποίοι θεωρούν ότι σε παρόμοιες θέσεις η προαγωγή σε Πύργο είναι συμφέρουσα καθώς δημιουργεί τις ίδιες απειλές με τη Βασίλισσα και παράλληλα έχει το μικρότερο δυνατό κόστος σε περίπτωση απώλειας του προαγόμενου κομματιού.

Ας γυρίσουμε όμως στην παρτίδα. Για καλή τύχη του λευκού, αυτή η ενδιάμεση κίνηση, σε συνδυασμό με την ακόλουθη φορσέ συνέχεια, είναι η σωτήρια του καθώς κερδίζει αρκετό υλικό ως αντάλλαγμα για την επερχόμενη απώλεια της Βασίλισσάς του. 

23...Kxf8, 24. Bh6+ Ke8 



Eάν 24...Kg8, τότε υπάρχει εύκολη ισοπαλία με 25. Rh1+ Kh8, 26. Bg7+ Kg8, 27. Bh6+ κτλ. Ωστόσο προτίμησα να συνεχίσω την παρτίδα ψάχνοντας να βρω τύχες νίκης. 

25. Qb5+ Rxb5, 26. Bxb5+ Kd8, 27. Rxd5 Kc8. 




Ο Βασιλιάς διέφυγε τον κίνδυνο και η Βασίλισσα είναι έτοιμή να αναλάβει δράση στην ανοιχτή σκακιέρα είτε μαζεύοντας κάποιο από τα σκόρπια λευκά κομμάτια είτε πραγματοποιώντας ματ στο c2 με τη βοήθεια του λευκοτετράγωνου Αξιωματικού. Δυστυχώς όμως, η παρτίδα τελικά οδηγήθηκε σχετικά εύκολα σε ισόπαλο αποτέλεσμα μετά από

28. Bd3 Bxd3, 29. Rxd3 Qc4, 30. Bd2 Bxd2, 31. Kxd2 Qxa2, 32. Rxh7 Qe6, 33. Rh4 Qxf6, 34. Rc4+ Kb7, 35. Rb3+ Ka7, 36. Rc7+ Ka6, 37. Rc8 




με εύκολη ισοπαλία για έναν υπολογιστή...

Το ενδιαφέρον της παρτίδας όμως δεν σταματά εδώ. Αφού ολοκληρώθηκε η παρτίδα προχώρησα στην ανάλυσή της με τη βοήθεια του Stockfish 6. Προς μεγάλη μου έκπληξη, η ανάλυση χαρακτήρισε την 21η κίνηση Nf6 του μαύρου ως σφάλμα (blunder) με αποτίμηση της θέσης +6.97 υπέρ του λευκού! Τελειωμένη παρτίδα δηλαδή...




Όμως και άλλες μηχανές όπως το Deep Shredder αλλά και το Stockfish 7 παρουσίασαν παρόμοια συμπεριφορά, αφού η κίνηση Nf6 δεν συμπεριλαμβανόταν στις κορυφέες προτιμήσεις τους (βλ. παρακάτω εικόνα)


και μόνο αφού παίχτηκε η κίνηση Nf6, εναθεώρησαν και εκτίμησαν τη θέση ως ισόπαλη.


Με την περιέργεια μου εξημμένη, έβαλα ξανά την επίμαχη θέση στο Stockfish 7 και το άφησα να αναλύσει την παρτίδα για αρκετά λεπτά ώστε να δω τι θα γίνει. Είναι εντυπωσιακό, αλλά χρειάστηκε να εξετάσει περίπου 443 εκατομμύρια πιθανές βαριάντες για να εντοπίσει την κίνηση Nf6 και περίπου 500 εκατομμύρια βαριάντες σε βάθος 30 κανονικών κινήσεων1 (regular depth value) και 57 κινήσεων επιλεκτικής αναζήτησης (selective search value) για να ανακαλύψει μια πλήρη συνέχεια με πρώτη κίνηση το Nf6 που οδηγεί σε ισοπαλία (βλ. επόμενη εικόνα).


Το παράδειγμα αυτό αναδεικνύει για μια ακόμη φορά το διαφορετικό τρόπο σκέψης ανάμεσα στον άνθρωπο και τη μηχανή και εγείρει το ερώτημα κατά πόσο θεωρείται νοημοσύνη - έστω και τεχνητή - το γεγονός ότι ένας αλγόριθμος πρέπει να κάνει μια τόσο εξαντλητική αναζήτηση για να εντοπίσει κινήσεις που ένας άνθρωπος μπορεί να σκεφτεί αυτόματα βασιζόμενος σε μια ιδέα. Από την άλλη πάλι, τι είναι μια ιδέα, ποια είναι τα συστατικά της στοιχεία και πώς γεννιέται στο μυαλό ενός ανθρώπου; Μέχρι να απαντηθούν αυτά τα ερωτήματα, ένα είναι σίγουρο. Μην εμπιστεύεστε τις μηχανές με κλειστά τα μάτια.

1Ως κίνηση λογαριάζεται η κίνηση του ενός παίκτη και όχι το ζεύγος κινήσεων των δύο παικτών.

Wednesday, 21 September 2016

Ασύμμετρη σύγκριση

Άρρητοι ή ασύμμετροι λέγονται οι αριθμοί που δεν μπορούν να γραφούν στη μορφή κλάσματος, σε αντίθεση με τους ρητούς που μπορούν. Υπάρχει όμως και ένας ακόμη, εξίσου απλός και κομψός τρόπος να διακρίνει κανείς τους άρρητους από τους ρητούς. Ρητοί είναι οι αριθμοί των οποίων τα ψηφία, από ένα σημείο και πέρα, παρουσιάζουν μια περιοδικότητα. Για παράδειγμα ρητός είναι ο αριθμός $2,\!5$ αφού αυτός γράφεται και ως $2,\!500\!\underline{0}\dots$ με το μηδέν να επαναλαμβάνεται επ' αόριστο, αλλά και ο $2,\!546546546\underline{546} \dots$ Άρρητοι είναι αυτοί που δεν είναι ρητοί. Οι αριθμοί δηλαδή τα ψηφία των οποίων δεν εμφανίζουν κάποια περιοδικότητα. Είναι ενδιαφέρον ότι οι ρητοί, λόγω της περιοδικότητάς τους, μπορούν να εκφραστούν με τη χρήση πεπερασμένου πλήθους μαθηματικών συμβόλων, σε αντίθεση με τους άρρητους που χρειάζονται άπειρα σύμβολα για να εκφραστούν με απόλυτη ακρίβεια.

Δυο από τους γνωστότερους άρρητους αριθμούς είναι οι $e$ και $\pi$. Οι αριθμοί αυτοί εμφανίζονται σχεδόν παντού στα μαθηματικά και συνδέονται με μυστηριώδη τρόπο μέσα από απίστευτα πολλές και όμορφες σχέσεις. Ο αριθμός $e$ ορίζεται ως $e = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ και η τιμή του προσεγγιστικά είναι $e=2,71828\dots$. Ο αριθμός $\pi$ ορίζεται ως ο λόγος της περιμέτρου προς τη διάμετρο ενός οποιουδήποτε κύκλου και η τιμή του προσεγγιστικά είναι $\pi = 3,14159\dots$

Το ερώτημα που μας απασχολεί σε αυτό εδώ το άρθρο είναι το εξής: Ποιος από τους αριθμούς $e^{\pi}$ και $\pi^e$ είναι μεγαλύτερος;
Υπάρχουν διάφορες λύσεις αυτού του προβλήματος. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η επόμενη.

Θεωρούμε τη συνάρτηση $f: [e,\pi] \rightarrow \mathbb{R}, \,\,\,\, f(x) = x^{\frac{1}{x}}$. 

Τότε $\ln \left( f(x) \right) = \ln x^{\frac{1}{x}} \Leftrightarrow \ln \left( f(x) \right) = \frac{1}{x} \ln x$

από όπου παραγωγίζοντας κατά μέλη παίρνουμε $\frac{f'(x)}{f(x)} = -\frac{1}{x^2} \ln x + \frac{1}{x^2} = \frac{1}{x^2} \left(1 - \ln x \right)$

και συνεπώς $f'(x) = x^{\frac{1}{x}} \frac{1}{x^2} \left(1 - \ln x \right)$.

Όμως $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = e$ και για $x \in (e,\pi], \,\,\,\, f'(x) < 0$. Άρα η $f(x)$ παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο $x = e$ κι επομένως $f(x) < f(e), \,\,\,\, \forall x \in (e,\pi]$. Βάζοντας λοιπόν όπου $x = \pi$ έχουμε $f(\pi) < f(e)$, το οποίο σημαίνει ότι $\pi^{\frac{1}{\pi}} < e^{\frac{1}{e}} \Leftrightarrow \pi^e < e^{\pi}$.

Friday, 2 September 2016

Μικρές Ιστορίες 3: Αλεξίσφαιρα ματ...

Η επόμενη ανέκδοτη ιστορία εκτυλίσσεται στη διάρκεια ενός πραγματικού γεγονότος, ωστόσο περιέχει στοιχεία μυθοπλασίας και υπερβολής με τη βοήθεια των οποίων παρουσιάζεται μια απίστευτης πολυπλοκότητας σπουδή του ίσως μεγαλύτερου συνθέτη σκακιστικών προβλημάτων Sam Loyd. Το παρακάτω απόσπασμα είναι παρμένο από το βιβλίο του A. Kostyev "From beginner to expert in 40 lessons" [1].


Sam Loyd (30 Ιανουαρίου 1841 - 10 Απριλίου 1911).

Το 1713, στη διάρκεια του Σουηδοτουρκικού πολέμου, ο βασιλιάς Κάρολος ο 12ος της Σουηδίας βρέθηκε πολιορκημένος από τον εχθρό στο φρούριο Μπεντεράκ. Ο Κάρολος περνούσε τον καιρό του οργανώνοντας την άμυνα και παίζοντας σκάκι. Ο συχνότερος αντίπαλος του ήταν ο πρωθυπουργός Κ. Γκρότουζεν. Μια μέρα έφτασαν στη θέση του διαγράμματος.



Ο Κάρολος ανήγγειλε ματ σε 3 κινήσεις. Δεν πρόλαβε όμως να το εκτελέσει πάνω στη σκακιέρα και μία σφαίρα μπήκε από το παράθυρο κομματιάζοντας το λευκό Ίππο. Χωρίς να σταματήσει το παιχνίδι ή να δώσει σημασία στον Γκρότουζεν, ο Κάρολος ζήτησε έναν καινούργιο Ίππο, αμέσως όμως άλλαξε γνώμη και φώναξε: «σου χαρίζω και τον Ίππο, και ματ σε 4!».



Δεν είχε καλά-καλά τελειώσει τα λόγια του, και μια δεύτερη σφαίρα πέρασε σφυρίζοντας μέσα από το δωμάτιο και διέλυσε το πιόνι στο h2. Ο Γκρότουζεν άσπρισε από την τρομάρα του. «Έχεις καινούργιο σύμμαχο, τους Τούρκους, φίλε μου, κι είναι δύσκολο να φανταστώ πώς θα μπορούσα ακόμη και να σε κερδίσω σ' αυτή τη θέση. Παρ' όλα αυτά, να δούμε τι μπορώ να κάνω χωρίς το πιόνι... Το βρήκα! Με χαρά μου σου ανακοινώνω ότι υπάρχει ματ φορσέ σε 5 κινήσεις».


Ακολουθούν οι κύριες βαριάντες για κάθε πρόβλημα.

Ματ σε 3 κινήσεις:


1. Rxg3! Bxg3, 2. Nf3! zugzwang1,




2...B οπουδήποτε, 3. g4#.




Ματ σε 4 κινήσεις:



1. hxg3! Be3, 2. Rg4! απειλεί Rh4# 



2...Bg5, 3. Rh4+! 




3...Bxh4, 4. g4#.

Ματ σε 5 κινήσεις:



1. Rb7 (αν 1. Rd7? Bd4, 2. Rxd4 πατ, ή 1. Re7? Bg1, 2. Re1 Bh2 zugzwang, 3. Rd1 Kh4, 4. Kg6 Bg1)




1... Be3 (ή 1...Bg1, 2. Rb1 Bh2, 3. Re1! Kh4, 4. Kg6! οτιδήποτε, 5. Re4#)



2. Rb1 Bg5, 3. Rh1+ Bh4, εκβιάζοντας το πατ, όμως...




4. Rh2!! Μαγεία! Δίνει κίνηση στο μαύρο αποφεύγοντας το πατ!




4...gxh2, 5. g4#.




Αριστουργηματικό! 


Αυτά από τον δαιμόνιο Loyd. Και τώρα, μια ταπεινή συνεισφορά από μέρους μου. Με έναν επιπλέον λευκό Πύργο, μια λευκή Βασίλισσα (βλ. επόμενο διάγραμμα) και δυο σφαίρες ακόμα, η ιστορία αυτή θα μπορούσε να γίνει λίγο πιο μακροσκελής.




Στη θέση αυτή, τα λευκά παίζουν και κάνουν ματ σε 1 κίνηση:


1. Qg4#.




Η πρώτη σφαίρα λοιπόν διαλύει τη λευκή Βασίλισσα αφήνοντας την επόμενη θέση, στην οποία παίζουν τα λευκά και κάνουν ματ σε 2 κινήσεις:




1. Rg5+




1...hxg5, 2. Rh8# 




ή 1...Kh4, 2. Nf3#.




Φυσικά, η δεύτερη σφαίρα διαλύει τον Πύργο στο g8 και φτάνουμε έτσι στην αρχική θέση του Loyd. Τέσσερις σφαίρες λοιπόν και ματ σε 1, 2, 3, 4 και 5 κινήσεις. Καθόλου άσχημο...


1zugzwang (γερμ.) είναι η κατάσταση στην οποία ένας παίκτης αν και θα προτιμούσε να πάει πάσο είναι αναγκασμένος να παίξει καταστρέφοντας τη θέση του.

[1] Πρώτη έκδοση στη Σοβιετική Ένωση το 1980. Πρώτη αγγλική έκδοση το 1984 (μετάφραση από τον Jon Speelman). Ελληνική μετάφραση από τις εκδόσεις "Κλειδάριθμος", 1994.